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Alla precedente disuguaglianza si possono sostituire le seguenti due:

che si possono scrivere

La (3) dice che ${\displaystyle y}$ è compreso tra ${\displaystyle b-\epsilon }$ e ${\displaystyle b+\epsilon }$.

I valori che la ${\displaystyle y}$ assume per i citati valori di ${\displaystyle x}$ formano dunque una classe di numeri, il cui limite inferiore ${\displaystyle l}$ non è inferiore a ${\displaystyle b-\epsilon }$, e il cui limite superiore ${\displaystyle L}$ non è superiore a ${\displaystyle b+\epsilon }$.

Questa ultima osservazione permette di presentare sotto nuova luce la definizione di limite, e di vederne le possibili generalizzazioni. E forse per qualche lettore la seguente trattazione potrà apparire più facile della precedente. Premettiamo una osservazione.

Siano ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ due intorni del punto ${\displaystyle a}$; e sia ${\displaystyle \gamma _{1}}$ una parte di ${\displaystyle \gamma _{2}}$ (cioè i punti di ${\displaystyle \gamma _{1}}$ appartengono a ${\displaystyle \gamma _{2}}$). Tra i valori che ${\displaystyle y}$ assume per i valori di ${\displaystyle x}$ (distinti da ${\displaystyle a}$ e che appartengono a ${\displaystyle G}$) appartenenti a ${\displaystyle \gamma _{2}}$ saranno compresi anche i valori assunti da ${\displaystyle y_{1}}$, quando ${\displaystyle x}$ (sempre appartenendo a ${\displaystyle G}$ ed essendo distinto da ${\displaystyle a}$) si muove entro ${\displaystyle \gamma _{1}}$ (e ciò perchè, per ipotesi, ${\displaystyle \gamma _{1}}$ è interno a ${\displaystyle \gamma _{2}}$). Quindi evidentemente: I limiti ${\displaystyle L_{0}l_{1}}$ superiore e inferiore dei valori assunti da ${\displaystyle y}$ quando ${\displaystyle x}$ varia in ${\displaystyle \gamma _{1}}$ (colle solite restrizioni) e i limiti analoghi ${\displaystyle L_{2},l_{2}}$ relativi a ${\displaystyle \gamma _{2}}$ soddisfano alle ${\displaystyle L_{2}\geq L_{1}\geq l_{1}\geq l_{2}}$^[1]. Cioè, mentre un intorno \math>\gamma</math> di ${\displaystyle a}$ rimpicciolisce, il limite superiore ${\displaystyle L}$ dei valori corrispondenti di ${\displaystyle y}$ non aumenta, il limite inferiore ${\displaystyle l}$ non diminuisce, pure essendo sempre ${\displaystyle L\geq l}$. Dunque il limite inferiore ${\displaystyle \Lambda }$ degli ${\displaystyle L}$, e il limite superiore ${\displaystyle \lambda }$ degli ${\displaystyle l}$ soddisfano alle ${\displaystyle \Lambda \geq \lambda }$.

Nel nostro caso (il caso elementare) in cui ${\displaystyle \lim _{x=a}y=b}$, preso un ${\displaystyle \epsilon }$ piccolo a piacere, esiste, come abbiamo veduto, un intorno ${\displaystyle \gamma }$ di ${\displaystyle a}$ per cui il limite superiore ${\displaystyle L}$ non supera ${\displaystyle b+\epsilon }$, l'inferiore ${\displaystyle l}$ non è minore di ${\displaystyle b-\epsilon }$, per cui cioè ${\displaystyle L-l}$ non supera ${\displaystyle 2\epsilon }$. In tal caso dunque la classe degli ${\displaystyle L}$ è contigua alla classe degli ${\displaystyle l}$; cioè ${\displaystyle \Lambda =\lambda }$. E questo numero ${\displaystyle \lambda =\lambda }$ di separazione delle due classi coincide appunto col limite ${\displaystyle b}$ di ${\displaystyle y}$ per ${\displaystyle r=a}$. Potremmi dunque anche dire:

Si dice che il limite di ${\displaystyle y}$ per ${\displaystyle x=a}$ esiste, se la classe degli ${\displaystyle L}$ è contigua alla classe degli ${\displaystyle l}$; come valore ${\displaystyle \lim _{x=a}y}$ di questo limite s'intende in tal caso il numero di separazione delle due classi.

Questa definizione è molto analoga a quella data per le aree e i volumi delle figure piane o solide. Si capisce che dalle nostre ricerche elementari resta escluso il caso ${\displaystyle \Lambda >\lambda }$, in cui secondo le attuali definizioni, non esiste il limite di ${\displaystyle y}$ per ${\displaystyle x=a}$; ${\displaystyle \Lambda }$ e ${\displaystyle \lambda }$ sono nel caso generale i cosidetti massimo e minimo limite di ${\displaystyle y}$ per ${\displaystyle x=a}$. Si possono poi distinguere i limiti per ${\displaystyle x=a+}$ da quelli per ${\displaystyle x=a-}$.

Oss. ${\displaystyle 1^{a}}$. Affinchè queste definizioni abbiano senso, si deve però ammettere che in ogni intorno di ${\displaystyle a}$ esistono punti x appartenenti a G, ma distinti da a. Vale a dire, se a è finito

1. ↑ Ciò è una facile estensione del teorema evidente: se ${\displaystyle a_{1},a_{2}\cdots ,a_{n}}$ sono dei numeri, e ${\displaystyle a_{1},a_{2}\cdots ,a_{m}}$ (con ${\displaystyle m\leq n}$) sono una parte dei precedenti, il massimo (minimo) dei primi non è inferiore (superiore) al massimo (minimo) di questi ultimi.