[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:124|3|0]]

si deve per ogni numero ${\displaystyle \sigma }$ ammettere l'esistenza di punti ${\displaystyle x}$, differenti da ${\displaystyle a}$, in cui la ${\displaystyle y}$ è definita e che soddisfano alla ${\displaystyle |x-a|<\sigma }$; se ${\displaystyle a=\infty }$, si deve per ogni numero ${\displaystyle m}$ ammettere l'esistenza dei numeri ${\displaystyle x}$, per cui la ${\displaystyle y}$ è deifinita, e tali che ${\displaystyle |x|>|m|}$^[1].

Così, p. es., non avrebbe senso parlare del ${\displaystyle \lim _{x=1}{\sqrt {x-2}}}$, perchè la ${\displaystyle y}$ è definita soltanto nel campo ${\displaystyle G}$ foramto dai valori della ${\displaystyle x}$, che non sono inferiori a ${\displaystyle 2}$. Ed evidentemente vicino ad ${\displaystyle \left[\mathrm {P,es.,nell'intorno} (1-\sigma ,1+\sigma )\,\mathrm {ove} \,\sigma ={\frac {1}{2}}\right]}$ non esistono valori di ${\displaystyle G}$.

Oss. ${\displaystyle 2^{a}}$. Se i valori della ${\displaystyle x}$, di cui si parla nelle precedenti definizioni, sono scelti tutti in intorni a sinistra del punto ${\displaystyle a}$, allora, anzichè scrivere ${\displaystyle \lim _{x=a}y}$, si scrive spesso ${\displaystyle \lim _{x=a-0}y}$ (se ${\displaystyle a}$ è finito) oppure ${\displaystyle \lim _{x=+\infty }y}$ (se ${\displaystyle a}$ è infinito). Si scrive ${\displaystyle \lim {x=a+0}}$ oppure ${\displaystyle \lim {x=-\infty }}$, se i valori considerati della ${\displaystyle x}$ sono scelti in intorni destri del punto ${\displaystyle a}$. Le notazioni ${\displaystyle \lim {x=a},\lim _{x=\infty }}$ sono però usate anche in tali casi, se non vi è possibilità di un equivoco.

Si scrive anche ${\displaystyle \lim _{x=a-}}$ e ${\displaystyle \lim _{x=a}+}$, anzichè ${\displaystyle \lim _{x=a-0}}$ e ${\displaystyle \lim _{x=a+0}}$.

Così, p. es., la ${\displaystyle y=x+{\frac {|x-1|}{x-1}}}$ è una funzione definita per tutti i valori della ${\displaystyle x}$, il punto ${\displaystyle x=1}$ eccettuato. Ed è ${\displaystyle \lim _{x=-0}y=o}$. Infatti, se ${\displaystyle \epsilon }$ è un numero piccolo a piacere, per i valori della ${\displaystyle x}$ dell'intorno ${\displaystyle 1-\epsilon <x<1}$ del punto ${\displaystyle 1}$ è ${\displaystyle 0-y|=|y|=|x+{\frac {1-x}{x-1}}|=|x-1|<\epsilon }$. In modo simile si prova che ${\displaystyle \lim _{x=1+0}y=2}$.

(Si ricordi che per ${\displaystyle x<1}$ è ${\displaystyle |x-1|=|1-x|=1-x,{\frac {|x-1|}{x-1}}=-1}$ e che per ${\displaystyle x>1}$ è ${\displaystyle {\frac {|x-1|}{x-1}}=1}$).

Oss. ${\displaystyle 3^{a}}$. È essenziale notare che, pure esistendo il ${\displaystyle \lim _{x=a}y}$, può darsi benissimo che per ${\displaystyle x=a}$ la ${\displaystyle y}$ non sia definita, od anche che vi abbia un valore affatto distinto da ${\displaystyle \lim _{x=a}y}$, perchè,

1. ↑ Questa proprietà si suole anche enunciare dicendo: Il punto ${\displaystyle a}$ è punto limite di ${\displaystyle G}$