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Oss. Esistano ancora per ${\displaystyle x=a}$ i limiti delle ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$. Se ${\displaystyle \lim y_{2}=\infty ,\lim y_{1}\not =\infty }$, allora ${\displaystyle {\frac {y_{2}}{y_{1}}}}$ ha per limite ${\displaystyle \infty }$.

Se ${\displaystyle \lim y_{2}\not =0,\lim y_{1}=0}$, e se il rapporto ${\displaystyle {\frac {y_{2}}{y_{1}}}}$ ha significato, allora ${\displaystyle \lim {\frac {y_{2}}{y_{1}}}=\infty }$.

Se ${\displaystyle \lim y_{1}=\infty ,\lim y_{2}\not =\infty }$, allora ${\displaystyle \lim {\frac {y_{2}}{y_{1}}}=0}$.

Se dunque esistono i limiti di ${\displaystyle y_{2}}$ e di ${\displaystyle y_{1}}$, noi sappiamo trovare il limite del quoziente ${\displaystyle {\frac {y_{2}}{y_{1}}}}$ in tutti i casi, esclusi quelli che entrambe le ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$ tendano a zero, o che entrambe tendano all'infinito. Questi casi particolari saranno da noi studiati più tardi per altra via. È naturalmente inteso [nel caso che il ${\displaystyle \lim y_{1}}$ sia nullo] che si possa parlare del rapporto ${\displaystyle {\frac {y_{2}}{y_{1}}}}$ e che cioè nei punti di un intorno ${\displaystyle \alpha }$ di ${\displaystyle a}$ (il punto ${\displaystyle a}$ escluso), sia ${\displaystyle y_{1}\not ==}$^[1].

${\displaystyle \delta )}$ Sia ${\displaystyle y=f(z),z=\varphi (x)}$: sia ${\displaystyle \lim _{x=a}z=b,\lim _{x=b}y=c}$. La ${\displaystyle y}$ si possa considerare come funzione ${\displaystyle f[\varphi (x)]}$ della ${\displaystyle x}$ in un intorno ${\displaystyle a}$. È intuitivo che sarà anche ${\displaystyle \lim _{x=a}y=c}$.

Se però in ogni intorno del punto ${\displaystyle a}$ esistono punti ${\displaystyle x\not =a}$, in cui la ${\displaystyle z}$ assume il valore ${\displaystyle b}$, bisogna in più ammettere che ${\displaystyle f(b)=c}$.

Infatti, preso un numero ${\displaystyle \epsilon }$ piccolo a piacere, della ${\displaystyle \lim _{x=b}y=c}$, si deduce che esiste un numero ${\displaystyle \delta }$ tale che per ${\displaystyle z\not =b}$ e ${\displaystyle |z-b|>\delta }$ è ${\displaystyle |y-c|<\epsilon }$. Dalla ${\displaystyle \lim _{x=a}z=b}$ si deduce che esiste un numero ${\displaystyle \sigma }$ tale che, se ${\displaystyle x\not =a}$ e se ${\displaystyle |x-a<\sigma }$ sia ${\displaystyle |z-b|<\delta }$. Sarà quindi anche, per quanto trovammo, ${\displaystyle |y-c|<\epsilon }$ e se ${\displaystyle <\not =b}$. La disuguaglianza ${\displaystyle |y-c|<\epsilon }$ vale anche se ${\displaystyle z=b}$ per il valore considerato della ${\displaystyle x}$, perchè per ipotesi in tal caso ${\displaystyle y=f(b)=c}$, Dunque, dato un numero ${\displaystyle \epsilon }$ piccolo a piacere, esiste un numero ${\displaystyle \sigma }$ tale che par ${\displaystyle |x-a|<\sigma }$ è ${\displaystyle |y-c|<\epsilon }$, Donde, per definizione di limite, ${\displaystyle \lim _{x=a}y=c}$.

In modo simile si tratta il caso che ${\displaystyle c=\infty }$, oppure ${\displaystyle b=\infty }$, ecc.

1. ↑ Se fosse ${\displaystyle l_{1}\not =0}$, questa ultima condizione è sempre soddisfatta, come abbiamo già osservato.