[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:138|3|0]]

:Per ${\displaystyle x=\pm {\frac {\pi }{2}},y={\frac {2}{\pi }}={\frac {2}{3,14159\cdots }}=0,63662\cdots }$

Per ${\displaystyle x=\pm {\frac {\pi }{4}},y={\frac {2{\sqrt {2}}}{3,14159\cdots }}=0,90032\cdots }$

Per ${\displaystyle x=\pm {\frac {\pi }{180}},y=0,99995\cdots }$

Per ${\displaystyle x=\pm {\frac {\pi }{60.180}},y=0,99999\cdots }$

Se con ${\displaystyle z}$ indichiamo la misura in gradi dell'angolo di ${\displaystyle x}$ radianti, asrà: ${\displaystyle z={\frac {180x}{\pi }}}$; e quindi ${\displaystyle \lim _{z=0}{\frac {\operatorname {sen} z}{z}}={\frac {\pi }{180}}\lim {\frac {\operatorname {sen} x}{x}}={\frac {\pi }{180}}={\frac {3,141519\cdots }{180}}=0,01745\cdots }$^[1]

La misura in radianti è appunto per ciò fondamentale, perchè, se misurassimo gli angoli in gradi, dovremmo continuamente nelle corrispondenti formole di calcolo la costante ${\displaystyle {\frac {3,14159\cdots }{180}}}$ testé determinata.

La dimostrazione della nostra formola si compie facilmente.

Per ${\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}$ è ${\displaystyle \operatorname {sen} x<x<\tan x}$ (§ 5, δ, pag. 19).

Dividendo per ${\displaystyle \operatorname {sen} x}$ (positivo) si ha:

Poichè ${\displaystyle \lim _{x=0}\cos x=1}$, anche ${\displaystyle \lim _{x=0}{\frac {1}{\cos x}}=1}$. Poichè la funzione ${\displaystyle y=1}$ ha pure per limite ${\displaystyle 1}$, il teorema precedente dimostra che

1. ↑ Questo numero è la misura in radianti dell'angolo di un grado. Se si misurasse invece l'angolo in gradi centesimali, il valore di questo limite darebbe ${\displaystyle {\frac {\pi }{200}}=0,01570\cdots }$.