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cioè saranno tutte uguali a ${\displaystyle (q-1)}$. La loro somma ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ è perciò ${\displaystyle n(q-1)}$.

In modo simile si prova che la somma ${\displaystyle \sigma _{n}}$ delle aree dei rettangoli aventi per base gli stessi segmenti e per altezza l'ordinata del corrispondente estremo dentro è ${\displaystyle n(q-1){\frac {1}{q}}}$.

Si ha così, posto ${\displaystyle v={\frac {1}{n}}}$,

${\displaystyle \Sigma _{n}=\left({\frac {b}{a}}^{\frac {1}{n}}\right)-1}$ donde ${\displaystyle \lim _{n=\infty }\Sigma _{n}=\lim _{v=0}{\frac {\left({\frac {b}{a}}\right)^{v}-1}{v}}=\log _{e}{\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle \sigma _{n}={\frac {\Sigma _{n}}{q}}}$                     donde ${\displaystyle \lim _{n=x}\sigma _{n}=\log _{e}{\frac {b}{a}}\lim _{n=\infty }{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}=\log _{e}{\frac {b}{a}}}$.

Il limite inferiore delle ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ e il limite superiore delle ${\displaystyle \sigma _{n}}$ coincidono dunque, e sono uguali a ${\displaystyle \log _{e}{\frac {b}{a}}}$. Dunque la figura α racchiusa tra il segmento ${\displaystyle AB}$, le ordinate di ${\displaystyle A,B}$ e la porzione corrispondente di iperbole equilatera ha un area che vale precisamente ${\displaystyle \log _{e}{\frac {b}{a}}}$^[1].

Se noi rappresentiamo la nostra figura in scala un po' grande su carta millimetrata divisa in quadretti molto piccoli, si può avere un metodo approssimato per calcolare ${\displaystyle \log _{e}{\frac {b}{a}}}$, misurando l'area ${\displaystyle \alpha }$: cioè contando quanti dei quadretti in cui è diviso il nostro foglio millimetrato sono contenuti in ${\displaystyle \alpha }$.

4° Sia ${\displaystyle f(x)}$ una funzione di ${\displaystyle x}$, che tende ad un limite finito ${\displaystyle L}$, p. es., per ${\displaystyle x=\infty }$. Come si può calcolare approssimativamente questo limite? È ben evidente che ${\displaystyle f(x)}$ si può considerare come un valore approssimato di L, e che l'approssimazione sarà generalmente tanto migliore, quanto più grande si suppone ${\displaystyle x}$; o meglio, e più precisamente, che, prendendo ${\displaystyle x}$ abbastanza grande, si potrà rendere piccolo a piacere l'errore che si commette quando si supponga ${\displaystyle f(x)=L}$.

Ma simile considerazione ha un valore scarso, se per ogni valore della ${\displaystyle x}$ non si può dare un misura del grado di ap-

1. ↑ Infatti i rettangoli considerati, le cui aree hanno per somma ${\displaystyle \Sigma _{n}(\sigma _{n})}$ formano un poligono, che contiene la figura ${\displaystyle \alpha }$ all'interno (che è interno alla figura ${\displaystyle \alpha }$) (cfr. § 7).