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Infatti:

${\displaystyle e^{z+z'}=e^{x+x'+i(y+y')}=e^{x+x'}|\cos(y+y')+i\operatorname {sen}(y+y')|=}$

2° Sappiamo già che, se ${\displaystyle z}$ è reale, allora

Ebbene in virtù della definizione di Eulero, questa stessa formola vale anche se z è complesso.

Infatti: ${\displaystyle \left(1+{\frac {z}{m}}\right)=\left[\left(1+{\frac {x}{m}}\right)+i{\frac {y}{m}}\right]=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )}$,

dove ${\displaystyle \rho ={\begin{Bmatrix}\left(1+{\frac {z}{m}}\right)^{z}+{\frac {y^{z}}{m^{z}}}\end{Bmatrix}}^{\frac {1}{2}}.{\text{tg}}\theta ={\frac {y}{x+m}},|\theta |<{\frac {\pi }{2}}}$.^[1]

Sarà:${\displaystyle \left(1+{\frac {z}{m}}\right)^{m}=\rho ^{m}{\begin{Bmatrix}\cos m\theta +i\operatorname {sen} m\theta \end{Bmatrix}}}$.

Ora, posto ${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {2x}{m}}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{m^{2}}}}$, è:

Ossia, poichè ${\displaystyle \lim _{m=\infty }{\frac {m}{2n}}=x}$, si ha ${\displaystyle \lim _{m=\infty }p^{m}=e^{x}}$.

D'altra parte ${\displaystyle \lim _{m=\infty }\theta =0}$, perchè ${\displaystyle {\text{''tg''}}\theta =\lim {\frac {y}{\infty +m}}=0{\text{e}}|\theta |<{\frac {\pi }{2}}}$; e ${\displaystyle \lim _{m=\infty }m\theta =\lim _{m=\infty }m{\text{tg}}\theta {\frac {\theta }{{\text{tg}}\theta }}=\lim _{m=\infty }{\frac {my}{x+m}}\lim _{\theta =0}=y.1=y}$.

E quindi ${\displaystyle \lim(\cos m\theta +i\operatorname {sen} m\theta )=\cos y+i\operatorname {sen} y}$.

Perciò

${\displaystyle \lim _{m=\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)^{m}=e^{x}(\cos y+i\operatorname {sen} y)=e^{x+iy}=e^{2}}$.          c.d.d.

Di tale definizione possiamo servirci per estendere anche a numeri negativi o complessi la teoria dei logaritmi neperiani. Sia ${\displaystyle w=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )}$ un numero complesso. Io dirò che ${\displaystyle z=x+iy}$ ne è un logaritmo a base e, se

cioè se

          ${\displaystyle e^{x}=\rho }$          ,          ${\displaystyle \cos y=\cos \theta }$          ,           ${\displaystyle \operatorname {sen} y=\operatorname {sen} \theta }$

Dunque ${\displaystyle x}$ è il logaritmo aritmetico del modulo ${\displaystyle \rho }$ di ${\displaystyle w}$.

Ed ${\displaystyle y}$ o è l'algoritmo ${\displaystyle \theta }$ di ${\displaystyle w}$, o differisce da ${\displaystyle \theta }$ per un multiplo

1. ↑ Per m molto grande il segno di ${\displaystyle \cos \theta }$, cioè il segno di ${\displaystyle 1+{\frac {x}{m}}}$ è positivo, anche se x<\theta</math>; e posso supporre ${\displaystyle \theta }$ compreso tra ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}{\text{e}}{\frac {\pi }{2}}}$.