[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:148|3|0]]

${\displaystyle 2k\pi }$ di ${\displaystyle 2\pi }$ (k intero). Ciò che è ben naturale, appunto perchè l'anomalia di un numero complesso è defnita a meno di multipli di ${\displaystyle 2\pi }$.

Nel campo dei numeri complessi ogni numero

ha infiniti logaritmi

Di questi logaritmi ve ne è uno (e solo uno) reale, se esiste un intero k tale che ${\displaystyle \theta +2k\pi =0}$, ossia se θ è un multiplo di ${\displaystyle 2\pi }$, cioè se si può supporre ${\displaystyle \theta =0}$, cioè se w coincide col suo modulo ${\displaystyle \rho }$, ossia se w + reale positivo.

I soli numeri reali positivi posseggono un logaritmo reale (quello di cui si occupa l'algebra elementare). Gli altri logaritmi se ne deducono aggiungendo un multiplo qualsiasi di ${\displaystyle 2\pi i}$ e sono complessi.

I numeri reali negativi ${\displaystyle w=-\rho }$ hanno gli infiniti logaritmi (tutti complessi)

In particolare ${\displaystyle -1}$ ha tra i suoi logaritmi il numero ${\displaystyle i\pi }$.

Il teorema fondamentale della teoria dei logaritmi reali diventa ora: Sommando insieme un logaritmo di ciascuno dei fattori di un prodotto, si trova uno dei logaritmi del prodotto^[1]. Il lettore ne deduca i teoremi analoghi per i quozienti, le potenze, ecc.

Così, p. es., dalla ${\displaystyle 2\log(-1)=\log(-1)^{2}=\log 1}$ non si può già dedurre che, essendo ${\displaystyle \log 1=0}$, anche ${\displaystyle \log(-1)=0}$, ma soltanto che il doppio di uno dei logaritmi di ${\displaystyle -1}$ vale uno dei logaritmi di ${\displaystyle 1}$; infatti i logaritmi di ${\displaystyle -1}$ sono ${\displaystyle (2k+1)i\pi }$, il cui doppio è un multiplo di ${\displaystyle 2\pi i}$, che è un logaritmo di ${\displaystyle 1}$^[2].

Dalla ${\displaystyle e^{\pm ix}=\cos x\pm i\operatorname {sen} x}$ si deduce:

Posto <math<x=i z</math> (z reale) il primo membro non ha significato; noi porremo per definizione ${\displaystyle \cos iz,\operatorname {sen} iz}$ uguali ai valori

1. ↑ Così anzi si possono trovare tutti i logaritmi del prodotto.
2. ↑ Il logaritmo ${\displaystyle 0}$ del numero ${\displaystyle 1}$ si trova, p. es., sommando insieme ${\displaystyle i\pi {\text{e}}-i\pi }$, che sono entrambi logaritmi di ${\displaystyle -1}$, e non già facendo il doppio di uno dei logaritmi di ${\displaystyle -1}$.