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curva continua ${\displaystyle y=f(x)}$, la distanza y dall'asse x non possa passare da M a m senza riceve tutti i valori intermedi. Ma, appena si ricodi che esistono curve continue ${\displaystyle y=f(x)}$ che in (a, b) fanno infinite oscillazioni, e non sono quindi disegnabili, si vedrà quanto sia insufficiente per nostri studi una intuizione, che assume a punto di partenza i diagrammi e le curve continue disegnabili.

ecco qui gli enunciati dei teoremi in discorso:

Sia y una funzione continua f(x) nell'intervallo finito (a, b), estremi inclusi. (Sia, p. es. a<b). Io dico che:

1° Il limite superiore M dei valori assunti da f(x) nell'intervallo (a, b) è un massimo. Cioè esiste nell'intervallo (a, b) almeno un punto ove la funzione riceve il massimo valore M, ossia un valore M non minore dei valori assunti negli altri punti dello stesso intervallo.

2° Il limite inferiore m dei valori assunti da f(x) in (a, b) è un minimo; cioè esiste nell'intervallo (a, b) almeno un punto, ove f(x) riceve il minimo valore m, ossia un valore m non maggiore di quello assunto negli altri punti dello stesso intervallo (teoremi di Weierstrass).

3° Se λ è un numero intermedio tra m ed M (m<λ<M), esiste almeno un punto di (a, b), in cui f(x) assume il valore λ^[1].

La differenza M — m si dice l'oscillazione D di f(x) in (a, b). Essa p generalmente positiva, ed è nulla soltanto se ${\displaystyle M=m}$, ossia se il più grande ed il più piccolo valore di ${\displaystyle f(x)}$ coincidono, ossia se ${\displaystyle f(x)}$ è costante nell'intervallo (a, b).

Ricordiamo anche il seguente importante teorema di Heine, a cui non ricorreremo mai in questo libro (e che dimostreremo anche con altri e più semplici metodi in casi particolari).

4° Dato un numero (positivo) ε si può dividere l'intervallo (a, b) in un numero finito di intervalli parziali j, in ciascuno dei quali l'oscillazione di f(x) è uguale o minore di ε.

Dimostriamo ora i primi tre dei precedenti teoremi. E per brevità indichiamo, se ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ sono due punti dell'intervallo (a, b) con ${\displaystyle l(\alpha ,\beta )}$ e con ${\displaystyle L(\alpha ,\beta )}$ i limiti inferiore e superiore dei valori asunti da ${\displaystyle f(x)}$ nell'intervallo ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$. È ${\displaystyle M=L(a,b)}$ ed è ${\displaystyle m=l(\alpha ,\beta )}$. Inostri teoremi saranno provati, quando sia dimostrato che, scelto comunque un numero ${\displaystyle \lambda }$ tale che ${\displaystyle m\leq \lambda \leq M}$ (non escluso ${\displaystyle \lambda =m,\lambda =M)}$ esiste un punto ${\displaystyle c}$ soddisfacente alla ${\displaystyle f(c)=\lambda }$. Se già ${\displaystyle f(a)=\lambda }$, il teorema è provato. Sia dunque ${\displaystyle f(a)<\lambda }$ (in modo analogo si studia il caso di ${\displaystyle f(a)>\lambda }$). Sia ${\displaystyle c}$ il limite superiore dei punti ${\displaystyle x}$ dell'intervallo (a, b) tali che ${\displaystyle L(a,x)\lambda }$. Sarà ${\displaystyle a<c\leq b}$. Preso un numero τ arbitrario positivo, esistono (poichè ${\displaystyle f(x)}$ è continua)

1. ↑ Questi teoremi ci dicono che i valori assunti da una funzione ${\displaystyle y=f(x)}$ continua in un intervallo finito (a, b) (estremi inclusi), riempiono tutto un segmento finito (m, M), compresi gli estremi.