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α) Siano date infinite quantità ${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}.\cdots ,u_{n},\cdots }$ determinate dal valore dell'indice supposto intero positivo. Consideriamo la somma ${\displaystyle s_{n}}$ delle prime ${\displaystyle n}$ tra esse; poniamo cioè:

Se esiste ed è finito il

la serie           ${\displaystyle s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots }$

si dice convergente; e il valore ${\displaystyle s}$ di questo limite si chiama somma della serie. E si scrive:

Se ${\displaystyle \lim _{n=\infty }s_{n}}$ esiste ma è infinito, la serie

si dice divergente. Se il ${\displaystyle \lim _{n=\infty }s_{n}}$ non esiste, la serie dicesi indeterminata. Una serie non convergente è dunque un simbolo privo di significato; e (come, p. es., le frazioni a denominatore nullo) si deve escludere dai nostri calcoli^[1].

Se moltiplichiamo i termini di una serie convergente, per una stessa costante k, la serie resta ancora convergente; e la sua somma resta moltiplicata per k.

1. ↑ Si potrebbe chiamare valore s di una serie, anzichè il ${\displaystyle \lim _{x=\infty }s_{n}}$, qualche altro limite, p. es. il ${\displaystyle \lim _{x=\infty }{\frac {s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{n}}{n}}}$. Con questa nuova definizione alcune serie non convergenti acquistano significato e si possono introdurre nel calcolo. (Le serie convergenti non mutano di valore con la nuova definizione). Con la nuova definizione, p. es., la serie indeterminata ${\displaystyle 1-1+1-1+1-1+\cdots }$ ha il valore ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$. Esistono molte definizioni di tale tipo: il significato della frase: valore di una serie non varia con la definizione scelta. Noi ci atterremo a quella classica data nel testo.