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Siano ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x),\cdots }$ infinite funzioni determinate in un campo ${\displaystyle T}$. Siano ${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3},\cdots }$ rispettivamente i limiti superiori dei loro moduli ${\displaystyle |f_{(}x)|,|f_{2}(x)|,|f_{3}(x)|}$, ecc.

Se la serie di questi limiti superiori

[1]                              ${\displaystyle M_{1}+M_{2}+M_{3}+\cdots }$

converge, allora è convergente assolutamente anche la serie

in ogni punto del campo ${\displaystyle T}$^[1].

Una tale serie ${\displaystyle f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\cdots }$ si dirà totalmente convergente.

Se la costante ${\displaystyle L_{n}}$ non è inferiore ad alcuno dei valori delle ${\displaystyle |f_{n}(x)|}$, e se la serie ${\displaystyle L_{1}+L_{2}+L_{3}+\cdots }$ converge, la serie ${\displaystyle f_{1}+f_{2}+f_{3}+\cdots }$ è totalmente convergente.

Infatti dalle ${\displaystyle L_{n}\geq |f_{n}(x)|}$ si deduce ${\displaystyle L_{n}\geq M_{n}}$. Dalla convergenza della serie delle ${\displaystyle L}$ si deduce quindi la onvergenza della serie delle ${\displaystyle M}$, e quindi per definizione, la totale convergenza della serie delle ${\displaystyle f_{(}x)}$.

Una serie totalmente convergente è (come abbiamo già osservato) anche assolutamente convergente. Il teorema reciproco non è generalmente vero.

Supponiamo che esista il ${\displaystyle \lim _{x=a+}f_{1}(x)}$, che noi indicheremo con ${\displaystyle l_{1}}$^[2].

È chiaramente ${\displaystyle |l_{n}|\leq M_{n}}$; e quindi la serie

[2]                              ${\displaystyle l_{1}+l_{2}+l_{3}+\cdots }$

converge assolutamente. Sia ${\displaystyle M}$ la somma di [1], e sia ε un numero piccolo a piacere. Esisterà un intero n così grande che

cioè

1. ↑ Infatti delle ${\displaystyle |f_{n}|\leq M_{n}}$ si deduce che per ogni valore di ${\displaystyle x}$ nel campo la serie ${\displaystyle |f_{1}|+|f-2|+|f_{3}|+\cdots }$ converge, e quindi (§ 45) la serie ${\displaystyle f_{1}+f_{2}+f_{+}\cdots }$ converge assolutamente.
2. ↑ È inclusa l'ipotesi che la ${\displaystyle x}$ varii in ${\displaystyle T}$,e quindi anche che in ogni intorno destro di ${\displaystyle a}$ esistano punti di ${\displaystyle T}$, distinti da ${\displaystyle a}$.