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che la velocità all0istante ${\displaystyle x}$ è quella funzione ${\displaystyle F8x)}$ della ${\displaystyle x}$, che è definita dalla

se un tale limite esiste.

γ) Se noi immaginiamo noto a priori il significato della frase:“velocità all'istante x”, possiamo usare un'altra forma di ragionamento, che ci servirà anzi come modello per altri problemi analoghi.

Se la velocità ${\displaystyle F(x)}$ si mantenesse costante nell'intervallo ${\displaystyle (x,x+h)}$, lo spazio ${\displaystyle f(x+h)-f(x)}$ percorso in tale intervallo di tempo sarebbe proprio uguale al prodotto ${\displaystyle hF8x)}$ della velocità ${\displaystyle F8x)}$ per il tempo ${\displaystyle h}$ impiegato a percorrerlo. Ma ${\displaystyle F(x)}$ può variare (se, come capita in pratica, ${\displaystyle F(x)}$ è funzione continua) nel dato intervallo da n valore minimo ${\displaystyle m}$ ad un valore massimo ${\displaystyle M}$. Lo spazio percorso sarà quindi compreso tra ${\displaystyle hm}$ ed ${\displaystyle hM}$, che misurano rispettivamente gli spazi percorsi nel caso che la velocità abbia costantemente il valore minimo ${\displaystyle m}$ o il valore massimo ${\displaystyle M}$^[1]. Quindi ${\displaystyle f(x+h)-f(x)=h\mu }$ dove ${\displaystyle \mu }$ è un valore compreso tra ${\displaystyle m}$ ed ${\displaystyle M}$, ossia il valore ${\displaystyle F(x+\lambda )}$ che ${\displaystyle F}$ assume in un certo punto ${\displaystyle x+\lambda }$ (a noi generalmente ignoto) dell'intervallo ${\displaystyle (x,x+h)(|\lambda |\leq |h|)}$. Dalla ${\displaystyle f(x+h)-f(x)=hF(x+\lambda )}$ si trae:

donde, passando al limite per ${\displaystyle h=0}$, e ricordando che ${\displaystyle \lambda }$ tende a zero per ${\displaystyle h=0}$, si ha appunto:

δ) In generale, se ${\displaystyle y}$ è una grandezza variabile col tempo ${\displaystyle x}$, che è una funzione ${\displaystyle y=f(x)}$ di ${\displaystyle x}$, il limite precedente si chiama la velocit di variazione di ${\displaystyle y}$. Così, se ${\displaystyle y}$ è la qualità di una certa sostanza che si è formata o si è decomposta in una certa reazione chimica, tale limite ha il nome di velocità di reazione. Se ${\displaystyle y}$ è la quantità di elettricità passata in un dato circuito all'istante ${\displaystyle x}$, tale limite ha il nome di intensità di corrente.

1. ↑ Che a velocità maggiore corrisponda spazio percorso maggiore è un postulato direttamente suggerito dalla intuizione.