[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:176|3|0]]

Noi, assumendo come punto di partenza i fatti intuitivi ora accennati, porremo la definizione seguente:

Tangente a una curva nel punto A è la posizione limite (se questa posizione esiste) si una secante A B congiungente il punto A con un altro punto B della curva, quando il punto B tende ad A^[1].

Fig. 15.

Bisogna dimostrare che questa definizione coincide nel caso del cerchio con la definizione data dalla geometria elementare.

Sia dato un punto ${\displaystyle A}$ su un cerchio di centro ${\displaystyle O}$. Preso un altro punto ${\displaystyle B}$ su tale cerchio, tiriamo la retta ${\displaystyle AB}$; essa sarà la perpendicolare tirata da ${\displaystyle A}$ alla bisettrice ${\displaystyle OH}$ dell'angolo ${\displaystyle A(O)B}$ (fig. 15).

Facciamo avvicinare il punto ${\displaystyle B}$ al punto ${\displaystyle A}$: allora l'angolo ${\displaystyle BOA}$ tende a zero, e la bisettrice ${\displaystyle OH}$ di questo angolo tende al raggio ${\displaystyle OA}$. La retta ${\displaystyle AB}$, che è sempre perpendicolare alla bisettrice ${\displaystyle OH}$, si avvicinerà alla perpendicolare alla retta ${\displaystyle OA}$ nel punto ${\displaystyle A}$, e si ha così la posizione limite della retta ${\displaystyle AB}$, ossia la tangente al cerchio nel punto ${\displaystyle A}$, nel senso ora definito, è la perpendicolare al raggio del cerchio che ha l'estremo in quel punto ${\displaystyle A}$, e coincide quindi con la retta che in geometria elementare si chiama “tangente al cerchio nel punto ${\displaystyle A}$”.

Fig. 16.

Sia la curva data dall'equazione ${\displaystyle y=f(x)}$. Il coefficiente angolare della retta ${\displaystyle Ab}$ è la tangente dell'angolo ${\displaystyle \omega }$ che la direzione positiva dell'asse delle ${\displaystyle x}$ fa con un raggio di essa, p. es., col raggio ${\displaystyle AB}$. Sia ${\displaystyle AC}$ parallela all'asse delle ${\displaystyle x}$. Dal triangolo ${\displaystyle ABC}$ (fig. 16) si ha che questo coefficiente angolare vale in grandezza e segno

dove ${\displaystyle B'B}$ e ${\displaystyle A'A}$, ${\displaystyle OB'}$ ed ${\displaystyle OA'}$ sono rispettivamente le ordinate e le ascisse dei punti ${\displaystyle B,A}$.

1. ↑ Qui si tratta di una facile estensione del concetto di limite. Noi diciamo che la retta ${\displaystyle AB}$ tende ad una posizione ${\displaystyle AP}$, se l'angolo di ${\displaystyle AB}$ ed ${\displaystyle AP}$ tende a zero. Dicendo poi che ${\displaystyle B}$ si avvicina ad ${\displaystyle A}$, vogliamo dire che, se la curva è rappresentata da una equazione ${\displaystyle y=f(x)}$, noi cerchiamo la posizione limite di ${\displaystyle AB}$ per ${\displaystyle x_{2}=x_{1}}$ (essendo ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ le ascisse di ${\displaystyle A}$ e di ${\displaystyle B}$).