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In entrambi i problemi precedentemente trattati, si è trovato necessario calcolare il

Questo limite, se esiste ed è finito, ha ricevuto il nome di derivata della funzione ${\displaystyle f(x)}$ nel punto ${\displaystyle x}$; esso è una funzione di ${\displaystyle x}$, che si suole indicare con ${\displaystyle f'(x)}$.

Se è posto ${\displaystyle y=f(x)}$, questo limite, se esiste, si indica brevemente anche con ${\displaystyle y'}$ senz'altro, o con ${\displaystyle y'_{x}}$, se si vuol mettere in evidenza la variabile ${\displaystyle x}$ rispetto al quale si deriva^[1].

Se il punto ${\displaystyle x}$ che si esamina è all'estremo sinistro (destro dell'intervallo, in cui ${\displaystyle f(x)}$ è definita, è sotteso che ${\displaystyle h}$ tende a zero per valori positivi (negativi); se invece il punto ${\displaystyle x}$ è interno a tale intervallo, si dice che la funzione ${\displaystyle f(x)}$ ha in tal punto la derivata ${\displaystyle f'(x)}$ soltanto se il ${\displaystyle \lim _{\Delta x=0}|frac{|deltaf}{\Delta x}}$ esiste, e è sempre lo stesso, sia che ${\displaystyle h}$ tenda a zero per valori positivi, sia che ${\displaystyle h}$ tenda a zero per valori negativi.

Di più, quando diremo che esiste la derivata ${\displaystyle f'(x)}$, noi supporremo sempre che il nostro limite abbia valore finito (sebbene si parli talvolta anche di derivate infinite). I risultati dei precedenti paragrafi si possono perciò anche enunciare così:

1° Se ${\displaystyle y=f(x)}$ è lo spazio percorso da un punto ${\displaystyle M}$ mobile su una retta in ${\displaystyle x}$ unità di tempo, allora la derivata ${\displaystyle y'=f'(x)}$ di ${\displaystyle f(x)}$ ci sà la velocità del punto ${\displaystyle M}$ all'istante ${\displaystyle x}$ (dopo che sono trascorse ${\displaystyle x}$ unità di tempo).

2° La retta tangente alla curva ${\displaystyle y=f(x)}$ nel punto di ascissa ${\displaystyle x}$ ha per coefficiente angolare ${\displaystyle y'=f'(x)}$.

Così, p. es., la derivata di ${\displaystyle y=ax^{2}(a={\text{cost.}})}$ è

Quindi: Se un punto in ${\displaystyle x}$ minuti secondi percorre ${\displaystyle ax^{2}}$ metri, la sua velocità (misurata in metri secondi) dopo ${\displaystyle x}$ secondi è

1. ↑ Cioè la variabile, alla quale si è dato l'incremento arbitrario h, che si fa tendere a zero. L'arbitrarietà di ${\displaystyle h}$ è naturalmente limitata alla sola condizione che i punti ${\displaystyle x,x+h}$ appartengono al campo, in cui la ${\displaystyle f(x)}$ è definita.