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zione ${\displaystyle \varphi (y)}$ della ${\displaystyle y}$ (per ${\displaystyle y}$ appartenente all'intervallo ${\displaystyle \beta }$. In altre parole in tali intervalli le

                              ${\displaystyle y=f(x)}$          ,          ${\displaystyle x=\varphi (y)}$

definiscono una stessa curva. Queste funzioni si diranno inverse l'una dell'altra. Così, p. es., avviene della coppia di funzioni

                    ${\displaystyle y=\log _{a}x}$          ,          ${\displaystyle x=a^{y}}$     ${\displaystyle (a>0;a\not =1)}$

[intervallo ${\displaystyle \alpha =(0,+\infty )}$]               [intervallo ${\displaystyle \beta =(-\infty ,+\infty )}$]

                    ${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}$                    ${\displaystyle x=y^{n}}$(${\displaystyle n}$ intero positivo dispari)

[intervallo ${\displaystyle \alpha =(-\infty ,+\infty )}$]               [intervallo ${\displaystyle \beta =(-\infty ,+\infty )}$]

                    ${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}$                    ${\displaystyle x=y^{n}}$(${\displaystyle n}$ intero positivo pari)

[intervallo ${\displaystyle \alpha =(0,\infty )}$]               [intervallo ${\displaystyle \beta =(0,+\infty )}$].

(In questi intervalli si debbono trascurare gli estremi, eccetto l'estremo ${\displaystyle 0}$ dell'ultimo esempio).

Nell'ultimo esempio si suppone ${\displaystyle x>0}$, affinchè il simbolo ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{n}}}$ non sia privo di significato; e si suppone ${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}>0}$, perchè altrimenti a un valore della ${\displaystyle x}$ corrisponderebbero due valori distinti per la ${\displaystyle y}$.

Supposte continue entrambe le ${\displaystyle f(x),\varphi (y)}$, e supposto che ${\displaystyle f'(x)}$ esista e sia differenze da zero, si vuol calcolare ${\displaystyle \varphi '(y)}$. Evidentemente per ipotesi l'incremento ${\displaystyle \Delta x}$ dato alla ${\displaystyle x}$ individua l'incremento ${\displaystyle \Delta y}$ dato alla ${\displaystyle y}$; e viceversa. Di più (per la supposta continuità delle ${\displaystyle f,\varphi }$), gli incrementi ${\displaystyle \Delta x,\Delta y}$ tendono contemporaneamente a zero^[1]. ora:

Poichè ${\displaystyle \lim _{\Delta x=0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ esiste ed è uguale a ${\displaystyle f'(x)\not =0}$, se ne deduce:

Cioè, nelle nostre ipotesi, la derivata φ'(x) è il numero reciproco di f'(x); e viceversa. Così, p. es., si verifica, posto

1. ↑ Le ipotesi si possono ridurre. Così, p. es., nel Capitolo dedicato alla teoria delle funzioni implicite, si vedrà che, se ${\displaystyle y=f(x)}$ possiede derivata ${\displaystyle f'(x)}$ differente da zero per ${\displaystyle x=a}$, e se ${\displaystyle b=f(a)}$, allora esiste una funzione ${\displaystyle x}$ della ${\displaystyle y}$, uguale ad ${\displaystyle a}$ per ${\displaystyle y=b\left({\text{che ha in tale punto una derivata proprio}}{\frac {1}{f'(a)}}\right)}$, che è quindi continua per ${\displaystyle y=b}$ e soddisfa alla ${\displaystyle y=f(x)}$. Si noti che: Se y è funzione continua della x nell'intervallo α, se essa è sempre crescente o sempre decrescente, allora la x è funzione continua della y nell'intervallo β corrispondente.