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Sarà (ricordando che ${\displaystyle \lim _{\Delta \,x=0}\Delta \,z=0}$)

                                                  ${\displaystyle f'\,(z)\varphi '(x)=y'_{z}z'_{x}}$.^[1]

Cioè: Se y è una funzione derivabile dalla z, e la z è funzione derivabile della x, la derivata y'_x della y rispetto alla x uguaglia il prodotto della derivata di y rispetto alla z per la derivata della z rispetto alla x.

Osserv. Sia ${\displaystyle y=f(z),z=\varphi (x)}$; e tanto la ${\displaystyle y}$ che la ${\displaystyle z}$ si possano considerare come funzioni della ${\displaystyle x}$. Sarà quindi per definizione in tale ipotesi

               ${\displaystyle dy=y'_{x}dx}$               (1);               ${\displaystyle dz=z'_{x}dz}$               (2)

Ma è ${\displaystyle y'_{x}=y'_{z}z'_{x}}$. Quindi la (1) equivale alla ${\displaystyle dy=y'zz'_{x}dx}$, che per (2) si può scrivere:

{{centrato|                              ${\displaystyle dy=y'_{z}dz}$                              (3)

Questa formola, vera per definizione se ${\displaystyle z}$ è la variabile indipendete, è vera dunque anche se z non è la variabile indipendente (ma invece le ${\displaystyle y,z}$ sono pensate come funzioni di una terza variabile ${\displaystyle x}$).

Si noti che, per il teorema i derivazione delle funzioni inverse, essa è vera anche se la stessa ${\displaystyle y}$ si assume a variabile indipendente, e si considera come funzione di ${\displaystyle y}$.

In tal caso infatti, essendo ${\displaystyle y'_{z}={\frac {1}{z'_{y}}}}$, tale formola si riduce alla ${\displaystyle dz=z'_{y}dy}$.

Siano ${\displaystyle x=x(t),y=y(t)}$ le coordinate di un punto, che al variare della ${\displaystyle t}$ descrive una curva. Siano ${\displaystyle x(t),y(t)}$ funzioni con derivata finita; e si possa in un certo intorno del punto ${\displaystyle t=\alpha }$ con-

1. ↑ Questa dimostrazione cessa di essere valida, se per valori di ${\displaystyle \Delta \,x\not =0}$ è ${\displaystyle \Delta \,z=0}$. Ma si osservi che ${\displaystyle \Delta \,y=y'_{z}\Delta \,z+\epsilon \Delta \,z}$, dove ${\displaystyle \lim \epsilon =0}$. Quindi in ogni caso
   ${\displaystyle y'z=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,y}{\Delta \,x}}=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,z}{\Delta \,x}}+\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,z}{\Delta \,x}}=y'_{z}z'_{x}}$