[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:204|3|0]]siderare^[1] ${\displaystyle y}$ come funzione di ${\displaystyle x}$. Sarà ${\displaystyle y'_{z}={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'(t)dt}{x'(t)dt}}={\frac {y'(t)}{xx'(ty)}}}$. L'equazione della retta tangente sarà

ossia ${\displaystyle [y-y(\alpha )]:y'(\alpha )=[z-z(\alpha )]:x'(\alpha )}$; questa equazione si può dimostrare direttamente, anche senza ammettere che ${\displaystyle y}$ si possa considerare come funzione della ${\displaystyle x}$, e senza usare il linguaggio differenziale. L'allievo applichi tale formola p. es. alla curva ${\displaystyle x=a{\text{cost}}\,t,y=b{\text{sen}}\,t}$ che coincide con l'ellisse ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$). (Cfr. Cap. 19, § 117).

Sia ${\displaystyle y=\log f(x)}$, dove ${\displaystyle f(x)}$ è una funzione positiva derivabile. Posto ${\displaystyle z=f(x)}$, è ${\displaystyle y=\log z}$, dove ${\displaystyle z=f(x)}$. Sarà

Cioè:

La derivata del logaritmo di una funzione derivabile f(x)>0 o, come si suol dire, la derivata logaritmica di f(x) si ottiene dividendo la derivata f'(x) d f(x) per la stessa funzione f(x).

Viceversa sia

Sarà ${\displaystyle y=e^{z}}$ dove ${\displaystyle z=\varphi (x)}$; e quindi ${\displaystyle y'_{x}=y'_{z}z'_{x}=e^{x}\varphi '(x)}$ ossia ${\displaystyle y'x=y\varphi '(x)}$.

Se il logaritmo di una funzione è derivabile), la derivata della funzione è uguale alla derivata del suo logaritmo moltiplicata per la funzione stessa.

Quest'ultimo teorema è spesso molto utile, perchè è talvolta più facile derivare il logaritmo di una funzione che la funzione stessa.

Se ne deduce che la derivata di ${\displaystyle e^{e\,x}}$ vale ${\displaystyle ce^{e\,x}}$. Questa formola vale anche se la costante e è complessa (così che risulta

1. ↑ Cioè si possa considerare t come funzione della x [inversa della ${\displaystyle x=x(t)}$]. La y sarà funzione di t, funzione della x, che si considererà come funzione della x.