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Osserviamo che ${\displaystyle d^{n}y=y^{(n)}dx^{n}}$ è il differenziale di

quando per un momento si consideri ${\displaystyle dx}$ come costante^[1]. Infatti in questa ipotesi la derivata di ${\displaystyle d^{(n-1)}y}$, ossia di ${\displaystyle y^{(n-1)}dx^{n-1}}$ è ${\displaystyle y^{(n)}dx^{n-1}}$, e il suo differenziale è ${\displaystyle y^{(n)}dx^{n}}$.

Con queste convenzioni, la derivata ${\displaystyle y^{(n)}}$ si può scrivere nella forma ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$.

γ) Abbiamo detto (§ 59, pag. 187) che, se ${\displaystyle y=f(x)}$, allora

anche se ${\displaystyle x}$ non è la variabile indipendente.

Un teorema analogo non vale per i differenziali di ordine superiore al primo; tutte le volte che si introducono nel calcolo tali differenziali, bisogna prefissare quale è la variabile indipendente scelta, e non più mutarla nel resto del calcolo.

Basti ricordare che il differenziale secondo ${\displaystyle d^{2}x}$ della variabile indipendente ${\displaystyle x}$ è nullo, perchè la derivata seconda della ${\displaystyle x}$ rispetto alla ${\displaystyle x}$ è nulla.

Calcolare le derivate successive del polinomio:

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}(x-\alpha )+a_{2}(x-\alpha )^{2}+\cdots +a_{n}(x-\alpha )^{n}}$.

Si trova:

${\displaystyle p'(x)=a_{1}+2a_{2}(x-\alpha )+3a_{3}(x-\alpha )^{2}+\cdots +na_{n}(x-\alpha )^{n-1}}$

${\displaystyle p''(x)=\lfloor {2}a_{2}+3.2a_{2}(x-\alpha )+\cdots +n(n-1)a_{n}(x-\alpha )^{n-2}}$

${\displaystyle 3.4\cdots (i+2)a_{i+2}(x-\alpha )^{2}+\cdots +(n-i+1)(n-1+2)\cdots na_{n}(x-\alpha )^{n-}}$

${\displaystyle p^{(n-1)}(x)=\lfloor {n-1}a_{n-1}+2\cdot 3\cdots 4\cdots (n-1)na_{n}(x-\alpha )}$

E le derivata successive, dalla ${\displaystyle (n+1)^{esima}}$ in poi, sono nulle.

1. ↑ Cioè si considera ${\displaystyle dx}$ come indipendente dalla ${\displaystyle x}$, ossia come avente uno stesso valore in ogni punto ${\displaystyle x}$, e perciò come avente derivata nulla ruspetto alla ${\displaystyle x}$.