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1° Si è dimostrato che se ${\displaystyle \lim _{x=a}f(x)=\lim _{x=a}\varphi (x)=0}$, e se esiste il ${\displaystyle \lim _{x=a}{\frac {\varphi '(x)}{f'(x)}}}$ esiste anche il ${\displaystyle \lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}}$, ed è uguale al precedente^[1]. Un teorema analogo vale se ${\displaystyle \lim _{x=a}f(x)=\lim _{x=a}\varphi (x)=0}$. Lasciando ai trattati di calcolo la dimostrazione completa (piuttosto delicata) di tale teorema, noi la esporremo nell'ipotesi che ${\displaystyle \lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}}$ esista, sia finito e diverso da zero. Poichè nelle nostre ipotesi è ${\displaystyle \lim _{x=a}{\frac {1}{f(x)}}=\lim _{x=a}{\frac {1}{\varphi (x)}}=0}$, sarà ${\displaystyle \lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}=\lim _{x=a}{\frac {\left({\frac {1}{\varphi (x)}}\right)}{\left({\frac {1}{f(x)}}\right)}}=\lim _{x=a}{\frac {\left({\frac {1}{\varphi (x)}}\right)'}{\left({\frac {1}{f(x)}}\right)'}}=\lim _{x=a}{\frac {\varphi '(x)}{f'(x)}}\left[{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}\right]^{2}={\frac {\varphi '(x)}{f'(x)}}\left\{\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}\right\}^{2}}$. Moltiplicando primo e ultimo membro per ${\displaystyle \left\{\lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}\right\}^{2}}$ si ottiene appunto ${\displaystyle \lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}=\lim _{x=a}{\frac {f'(x)}{\varphi '(x)}}}$.

2° Questi teoremi valgono anche per ${\displaystyle a=\infty }$, cioè se i termini della frazione tendono per ${\displaystyle x=\infty }$ entrambi a ${\displaystyle 0}$, oppure ad ${\displaystyle \infty }$. Posto infatti ${\displaystyle x={\frac {1}{z}}}$, si ha:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x=\infty }{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}&=\lim _{z=0}{\frac {f\left({\frac {1}{z}}\right)}{\varphi \left({\frac {1}{z}}\right)}}=\lim _{z=0}{\frac {\left[f\left({\frac {1}{z}}\right)\right]'_{z}}{\left[\varphi \left({\frac {1}{z}}\right)\right]'_{z}}}\\&=\lim _{z=0}{\frac {f'\left({\frac {1}{z}}\right)\left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}{\varphi '\left({\frac {1}{z}}\right)\left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}}=\lim _{z=0}{\frac {f'\left({\frac {1}{z}}\right)}{\varphi '\left({\frac {1}{z}}\right)}}=\lim _{x=\infty }{\frac {f'(x)}{\varphi '(x)}}\end{aligned}}}$

3° Talvolta con questi teoremi si riesce a calcolare il limite di un prodotto che si presenta nella forma ${\displaystyle 0\cdot \infty }$, ossia il limite del prodotto di due fattori ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle \varphi (x)}$ di cui uno tende a zero, l'altro a ${\displaystyle \infty }$. Basterà scrivere il prodotto ${\displaystyle f(x)\varphi (x)}$ nella forma ${\displaystyle {\frac {f(x)}{\left({\frac {1}{\varphi (x)}}\right)}}={\frac {\varphi (x)}{\left({\frac {1}{f(x)}}\right)}}}$, e poi applicare a questi quozienti il metodo precedente.

4° Si deve talvolta trovare il limite di una potenza, che sì presenta nella forma ${\displaystyle 1^{\infty }}$, oppure ${\displaystyle 0^{0}}$, oppure ${\displaystyle +\infty ^{0}}$, ecc., vale a dire di una potenza, la cui base tende ad ${\displaystyle 1}$, l'esponente ad ${\displaystyle \infty }$, oppure di cui base ed espanente tendono entrambi a zero, ecc. In tal caso si cerca dapprima col metodo dell'esercizio 3° il limite ${\displaystyle L}$ del logaritmo di una tale potenza. Il liniite della potenza sarà ${\displaystyle e^{L}}$.

5° Si deve talvolta cercare il limite di una differenza ${\displaystyle f(x)-\varphi (x)}$, che sì presenta nella forma ${\displaystyle \infty -\infty }$, perchè entrambi i termini tendono ad ${\displaystyle \infty }$.

In tal caso si scrive ${\displaystyle f(x)-\varphi (x)}$ nella forma di un prodotto ${\displaystyle f(x)\left[1-{\frac {\varphi (x)}{f(x)}}\right]=\varphi (x)\left[{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}-1\right]}$ cercando poi di applicare i metodi precedenti.

1. ↑ Il teor. reciproco non è generalmente vero. Infatti noi abbiamo dimostrato che ${\displaystyle {\frac {f(x)}{\varphi (x)}}={\frac {f(x_{1})}{\varphi (x_{1})}}}$ ove ${\displaystyle x_{1}}$ è un certo punto intermedio tra ${\displaystyle a}$ ed ${\displaystyle x}$. Non è detto però che, al variare di ${\displaystyle x}$, la ${\displaystyle x_{1}}$ assuma tutti i valorì di un intorno di ${\displaystyle a}$ e che non ne salti qualcuno; cosicchè studiando ì valori di ${\displaystyle {\frac {f(x)}{\varphi (x)}}}$ si studierebbero alcuni, ma non tutti i valori che il rapporto delle loro derivate assime în un intorno del punto ${\displaystyle a}$. E quindi nulla si può concludere per il limite di tale rapporto senza studi più minuti.