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Condizione necessaria e sufficiente affinchè ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ sia sviluppabile in un certo intervallo in serie di potenze è che la ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ possegga ivi tutte le derivata e che il limite del resto ${\displaystyle \mathrm {R_{n}} }$ per ${\displaystyle \mathrm {n=\infty } }$ sia nullo^[1].

Esistono formole notevoli, che permettono di scrivere ${\displaystyle R_{n}}$ sotto forma più semplice. La più importante per il teorico è la formola di Cauchy. La più semplice, che basta per noi, è dovuta a Lagrange. Di essa ora ci occuperemo, facendo la sola ipotesi che ${\displaystyle f(x)}$ in un intorno ${\displaystyle \alpha }$ possegga le prime ${\displaystyle n+1}$ derivate.

Se noi confrontiamo la (7) valida per ogni polinomio ${\displaystyle P_{n}(x)}$ col polinomio ${\displaystyle P_{n}(x)}$ definito in (8), troviamo che per questo polinomio valgono le:

${\displaystyle P_{n}(\alpha )=f(\alpha )}$;  ${\displaystyle P'_{n}(\alpha )=f'(\alpha )}$;  ${\displaystyle P''_{n}(\alpha )=f''_{n}(\alpha )}$; ...;  ${\displaystyle P_{n}^{(n)}(\alpha )=f^{(n)}(\alpha )}$: cosicchè:

${\displaystyle R_{n}(\alpha )=0}$  ${\displaystyle R'_{n}(\alpha )=0}$;  ${\displaystyle R''_{n}(\alpha )=0}$;  .....;  ${\displaystyle R_{n}^{(n)}(\alpha )=0}$; d'altra parte la ${\displaystyle (n+1)^{esima}}$ derivata di ${\displaystyle P_{n}(x)}$ è dappertutto nulla, perchè ${\displaystyle P_{n}(x)}$ è di grado ${\displaystyle n}$. E quindi si ha:

Applicando alla ${\displaystyle R_{n}(x)}$ il teorema di Lagrange del § 63, pag. 199, troviamo così:

(8^bis)     ${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {x-\alpha )^{n+1}}{\lfloor {n+1}}}R_{n}^{(n+1)}(\xi )={\frac {(x-\alpha )^{n+1}}{\lfloor {n+1}}}f^{(n+1)}(\xi )}$, dove ${\displaystyle \xi }$ è un punto intermedio tra ${\displaystyle \alpha }$ ed ${\displaystyle x}$.

Notiamo le seguenti due forme, che si possono dare alle (8), (8^bis), ponendo ${\displaystyle \alpha =0}$, oppure ${\displaystyle x=\alpha +h}$:

Formole tutte che valgono, purchè nell'intervallo considerato esistano e siano finite le prime ${\displaystyle \mathrm {n+1} }$ derivate di ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$.

1. ↑ Il teorema di Cauchy, citato in nota al § 66, ci dice che queste condizioni sarebbero certamente soddisfatte in un cerchio, se ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ fosse funzione della variabile complessa x con derivata prima finita e continua!!.