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Il simbolo ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle n_{1}\;n_{2}\;n_{3}}$..... ottenuto scrivendo dopo l'intero ${\displaystyle p}$ successivamente le cifre ${\displaystyle n_{1}}$, ${\displaystyle n_{2}}$, ${\displaystyle n_{3}}$, ..... si chiama numero irrazionale, e si assume come misura di ${\displaystyle N}$. Esso è un numero decimale illimitato non periodico (perchè altrimenti ${\displaystyle N}$ sarebbe commensurabile con ${\displaystyle M}$).

Ogni segmento N determina così la sua misura; segmenti uguali hanno misure uguali.

Viceversa due segmenti aventi misure uguali sono uguali.

Infatti, se ${\displaystyle n}$ è un intero qualsiasi, i due segmenti contengono lo stesso numero di volte la ${\displaystyle (10^{n})^{esima}}$ parte di ${\displaystyle M}$ (cioè il segmento ${\displaystyle \zeta }$ ottenuto dividendo ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle 10^{n}}$ parti uguali). La differenza ${\displaystyle \delta }$ dei due segmenti dati non può perciò superare ${\displaystyle \zeta }$; e ciò, qualunque sia ${\displaystyle n}$. Ma, se ${\displaystyle \delta }$ non è zero, io posso prendere ${\displaystyle n}$ così grande che ${\displaystyle \zeta <\delta }$^[1]. Ciò che contraddirebbe al già dimostrato. Quindi ${\displaystyle \delta =0}$, e i due segmenti sono uguali.

Il postulato della continuità della retta ci assicura poi che:

Ogni numero decimale limitato o no è misura di un segmento N (e soltanto dei segmenti uguali a questo).

Vi è dunque una corrispondenza biunivoca tra i segmenti ${\displaystyle N}$ di una retta ed i numeri razionali o no (quando segmenti uguali si considerino come non distinti).

Tutti i numeri fin qui definiti diconsi positivi.

Di due numeri (razionali o irrazionali) positivi disuguali si naturalmente maggiore quello che misura segmento maggiore. È facile trasformare questa definizione. Se, per semplicità, escludiamo i numeri le cui cifre decimali sono da un certo punto in poi tutte uguali a nove, sostituendoli con altri, le cui cifre decimali sono da un certo punto in poi tutte uguali a zero, troviamo, come è ben noto:

Il numero p è maggiore del numero q se

1. la parte intera di p supera la parte intera di q oppure, se
2. le parti intere di p, q sono uguali, ma la prima cifra decimale di p supera l’omologa di q oppure, se
3. i numeri p, q sono uguali fino alle n^esima cifra decimale, ma la ${\displaystyle ({\text{n}}+1)^{\text{esima}}}$ cifra decimale di p supera l’omologa di q.

Non insistiamo sulle altre ben note proprietà delle disuguaglianze.

1. ↑ E ciò in virtù del postulato di Archimede