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capitolo x — § 69

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mola del binomio di Newton. Se $m$ non è intero positivo, si dimostra che il resto tende a zero, e che il precedente sviluppo in serie è legittimo se $|x|<1$ (e non se $|x|>1$ ; il caso $|x|=1$ non ci interessa)^[1].

Tale serie dicesi binomiale

Questo risultato si può provare direttamente nel seguente modo. Dal § 45, pag. 151, sappiamo che la serie precedente converga per $|x|<1$ . Sia $f(x)$ il suo valore. Sarà:

$f'(x)=m\left\{1+{\frac {m-1}{1}}x+{\frac {(m-1)(m-2)}{\lfloor {2}}}x^{2}+.....\right\}\,\,\,$ (per $|x|<1$ ).

Cosicchè si trova facilmente che:

$(1+x)f'(x)=mf(x)$ , ossia $f'(x)}{f(x)={\frac {m}{1+x}}$ , ossia ${\frac {d\log |f|}{dx}}={\frac {d\log |1+x|^{m}}{dx}}$ . Quindi $\log |f|-\log |1+x|^{m}=\log \left|{\frac {f}{(i+x)^{m}}}\right|$ ha derivata nulla, cioè è costante. Dunque $\left|{\frac {f(x)}{(1+x)^{m}}}\right|$ è costante, ossia (poichè è uguale ad $1$ per $x=0$ ) vale $1$ . Dunque $f(x)$ non è mai nullo; e, poichè è positivo $x=0$ . sarà positivo in tutto il campo $|x|<1$ , ove $f(x)$ è definito. Dunque $|f(x)|=f(x)$ . Per

$|x|<1$ anche $(1+x)^{m}>0$ . Quindi ${\frac {f(x)}{(1+x)^{m}}}=\left|{\frac {f(x)}{(1+x)^{m}}}\right|=1$ , cioè

$f(x)=(1+x)^{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ c. d. d.

6° Per sviluppare in serie $y=\log(1+x)$ si noti che

$y'=(1+x)^{-1}$ , $y''=-(1-x)^{-2}$ , ecc.,

Lo sviluppo in serie sarà:

(1) $\,\,\,\,\,\log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+.....$ ,

purchè il resto tenda a zero. Senza studiare il resto possiamo provare direttamente la (1) per

|x|<1

. [Nel caso

|x|>1

si può dimostrare similmente che la serie precedente non converge; il caso di

x\not =\pm 1

non ci interessa]. Se

|x|<1

, il valore asso-

↑ Questo sviluppo in serie può essere talvolta utile per il calcolo di ${\sqrt {N}}$ , se $N>0$ . Detto $h$ un intero positivo tale che ${\frac {N}{10^{ht}}}$ sia compreso tra $0$ e $2$ , si ponga ${\frac {N}{10^{hr}}}=1+x$ , dove sarà $|x|<1$ . Sarà ${\sqrt[{r}]{N}}=10^{h}(1+x)^{m}$ , dove è posto $m={\frac {1}{r}}$ . Si può allora applicare la formola precedente. Il calcolo è specialmente rapido, se $|x|$ è piccolo. E' forse inutile avvertire che è sempre sottinteso di dare alla $x$ valori tali che esista un valore reale di (1+x)^m</math> (ciò che avviene se $|x|<1$ ) e che tra i valori, di cui $(1+x)^{m}$ può essere suscettibile, si sceglie quello reale e positivo.

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[1] Questo sviluppo in serie può essere talvolta utile per il calcolo di ${\sqrt {N}}$ , se $N>0$ . Detto $h$ un intero positivo tale che ${\frac {N}{10^{ht}}}$ sia compreso tra $0$ e $2$ , si ponga ${\frac {N}{10^{hr}}}=1+x$ , dove sarà $|x|<1$ . Sarà ${\sqrt[{r}]{N}}=10^{h}(1+x)^{m}$ , dove è posto $m={\frac {1}{r}}$ . Si può allora applicare la formola precedente. Il calcolo è specialmente rapido, se $|x|$ è piccolo. E' forse inutile avvertire che è sempre sottinteso di dare alla $x$ valori tali che esista un valore reale di (1+x)^m</math> (ciò che avviene se $|x|<1$ ) e che tra i valori, di cui $(1+x)^{m}$ può essere suscettibile, si sceglie quello reale e positivo.

[1]