[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:245|3|0]]sua prima derivata deve essere nulla. La derivata prima di ${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}}$ è ${\displaystyle 1-{\frac {1}{x^{2}}}}$; deve dunque essere:

da cui:	${\displaystyle x^{2}-1}$,
ossia:	${\displaystyle {\begin{cases}x=1,\,{\text{oppure}}\\x=-1.\end{cases}}}$

La derivata seconda della funzione ${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}}$ è ${\displaystyle {\frac {2}{x^{3}}}}$. Per ${\displaystyle x=1}$ queste derivata è uguale a 2; perciò, essendo la prima derivata diversa da zero d’ordine (2) pari e positiva, la funzione è data per ${\displaystyle x=1}$ ammette un minimo che è 2. Per ${\displaystyle x=-1}$ la seconda derivata della funzione ${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}}$ diventa ${\displaystyle -2}$; essendo dunque la prima derivata diversa da zero per ${\displaystyle x=-1}$ di ordine pari e negativa la funzione data ammette nel punto ${\displaystyle x=-1}$ un massimo che è ${\displaystyle -2}$. L’allievo illustri col disegno.

Fig. 26La somma ${\displaystyle x+y}$ ha dunque un solo massimo che è ${\displaystyle -2}$ (per ${\displaystyle x=-1}$) e solo un minimo che è ${\displaystyle 2}$ (per ${\displaystyle x=1}$). Questo risultato può sembrare a prima vista paradossale, perchè il massimo è minore del minimo. Ciò si spiega notando che la funzione ${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}}$ non è continua in tutto l’intervallo da ${\displaystyle -1}$ a 1, essendovi un questo intervallo il punto 0, in cui la funzione non è neanche definita.

La funzione data ${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}}$ si sdoppia per così dire in due altre: l’una definita per ${\displaystyle x<0}$, che ha il massimo in ${\displaystyle x=-1}$; l’altra definita per ${\displaystyle x>0}$, che ha un minimo per ${\displaystyle x=1}$.

2° Un raggio di luce va da un punto ${\displaystyle A}$ al punto ${\displaystyle B}$ attraverso una retta ${\displaystyle r}$ complanare con ${\displaystyle AB}$ (figura 26). Prima di giungere ad ${\displaystyle r}$ ha la velocità ${\displaystyle v}$; poi acquista la velocità ${\displaystyle w}$. Cercare il punto ${\displaystyle C}$ ove il raggio incontra la retta ${\displaystyle r}$, in guisa che il tempo ${\displaystyle y}$ impiegato a percorrere complessivamente i segmenti ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle CB}$ sia minimo.