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prima cifra decimale; sia ${\displaystyle m_{3}}$ la massima terza cifra decimale di quei numeri di ${\displaystyle G}$, che hanno ${\displaystyle m}$ per parte intera ed ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$ rispettivamente come prima e seconda cifra decimale. E così via. Noi chiameremo limite superiore dei numeri di ${\displaystyle G}$ il numero ${\displaystyle L=m,m_{1}\;m_{2}\;m_{3}.....}$, che si ottiene scrivendo dopo ${\displaystyle m}$ le successive cifre decimali ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$, ${\displaystyle m_{3}}$, ..... Evidentemente il numero cercato ${\displaystyle N}$ coincide, se esiste, con questo numero ${\displaystyle L}$.

B₁) Può avvenire che la classe ${\displaystyle G}$ contenga tra i suoi numeri il numero ${\displaystyle L}$. Ciò avviene evidentemente, per esempio, se la classe G contiene un numero finito di numeri n. In tal caso ${\displaystyle L}$ è proprio il massimo numero di ${\displaystyle G}$, che noi cercavamo.

B₂) Può invece avvenire che il numero ${\displaystyle L}$ non appartenga alla classe ${\displaystyle G}$. Ciò avviene, per esempio, se ${\displaystyle G}$ è la classe dei numeri minori di 2; in tal caso ${\displaystyle L=1,9999.....=2}$, che non appartiene a ${\displaystyle G}$. In tal caso di nuovo la classe ${\displaystyle G}$ non possiede un numero massimo (questo, se esistesse, coinciderebbe con ${\displaystyle L}$, che viceversa non è un numero di ${\displaystyle G}$, mentre invece ${\displaystyle N}$ dovrebbe essere un numero di ${\displaystyle G}$).

Una classe ${\displaystyle G}$ di numeri possiede in ogni caso un limite superiore ${\displaystyle L}$. Se questo appartiene alla classe ${\displaystyle G}$, esso è anche il massimo numero di ${\displaystyle G}$. Se esso non appartiene a ${\displaystyle G}$, la classe ${\displaystyle G}$ non contiene un numero massimo. Se ${\displaystyle L}$ non è ${\displaystyle +\infty }$, allora ${\displaystyle L}$ è il minimo numero, che non sia superato da alcun numero di ${\displaystyle G}$; se </math>k</math> è un intero qualsiasi, esiste in ${\displaystyle G}$ almeno un numero che coincide col limite superiore ${\displaystyle L}$ fino alla ${\displaystyle k^{\text{esima}}}$ cifra decimale inclusa ^[1]

Perciò sono possibili tre soli casi:

1°) Non vi è alcun numero maggiore di tutti i numeri di ${\displaystyle G}$ (ossia ${\displaystyle L=+\infty }$);

2°) Tra i numeri di ${\displaystyle G}$ ve n'è uno ${\displaystyle L}$ massimo (${\displaystyle L}$ è finito ed appartiene a ${\displaystyle G}$);

3°) Tra i numeri positivi maggiori di ogni numero di ${\displaystyle G}$ ve n'è uno ${\displaystyle L}$ minimo (${\displaystyle L}$ è finito e non appartiene a ${\displaystyle G}$).

Un numero decimale illimitato ${\displaystyle N}$ è il limite superiore dei numeri decimali limitati, che se ne deducono trascurando le cifre decimali da un certo punto in poi. Così, per esempio, 0,3333..... è il limite superiore dei numeri 0,3; 0,33; 0,333; eccetera.

Se ogni numero ${\displaystyle m}$ della classe ${\displaystyle G}$ soddisfa alla ${\displaystyle m<k}$, oppure alla ${\displaystyle m\leq k}$, oppure alla ${\displaystyle m>k}$, oppure alla ${\displaystyle m\geq k}$ (dove ${\displaystyle k}$ è un numero prefissato), allora il limite superiore ${\displaystyle L}$ soddisferà rispet-

1. ↑ Si dimostra che il limite superiore non varia, se si cambia il numero assunto come base del sistema di numerazione, servendosi delle proprietà qui enunciate per ${\displaystyle L}$.