[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:253|3|0]]Se non si vogliono calcolare entrambi questi punti, si può limitarci a considerare l'intersezione con l'asse delle ${\displaystyle x}$ della tangente in quello dei punto ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, in cui la curva volge la convessità all'asse delle ${\displaystyle x}$, ossia in cui ${\displaystyle f''(x)}$ ed ${\displaystyle f(x)}$ hanno lo stesso segno. Con un tal procedimento però spesso si ottiene un'approssimazione minore di quella ottenuta con il nostro metodo.

I punti ${\displaystyle {\frac {bf(c)-cf(b)}{f(c)-f(b)}}}$ e quello dei punti ${\displaystyle b-{\frac {f(b)}{(f'(b)}}}$, ${\displaystyle -{\frac {f(c)}{f'(c)}}}$, che noi scegliamo secondo i principii sopra esposti, costituiscono i due valori più approssimati della radice ${\displaystyle a}$ cercata.

Per es. noi sappiamo che l'equazione ${\displaystyle x^{5}=2}$ ha una, e una sola radice nell'intervallo ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$), in cui la derivata seconda di ${\displaystyle 20\,x^{3}}$ di ${\displaystyle f(x)=x^{5}-2}$ ha segno costante,

Poichè (posto ${\displaystyle b=1}$, ${\displaystyle c=2}$)

e di questi ultimi due punti il punto ${\displaystyle 1+{\frac {1}{5}}}$ è il più vicino a ${\displaystyle 1+{\frac {1}{31}}}$, la cui radice di ${\displaystyle x^{5}=2}$ è compresa tra <nath>1+\frac{1}{31}</math> e ${\displaystyle 1+{\frac {1}{5}}}$.

Riapplicando a questi due numeri il nostro procedimento, si ha un'approssimazione maggiore; e, così continuando, si può dimostrare che si ottiene una approssimazione grande a piacere.

Il metodo di Newton-Fourier serve naturalmente a calcolare con un'approssimazione grande a piacere le radici reali di un'equazione algebrica a coefficienti reali. Delle radici complesse, o delle equazioni a coefficienti complessi qui non ci occupiamo, perchè abbiano già visto (§ 17, δ, pag. 55) essere il loro studio riducibile alla ricerca delle radici reali di un'equazione a coefficienti reali.

Sia dunque ${\displaystyle f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}=0}$      (1) un'equazione algebrica a coefficienti reali. La ricerca delle sue radici reali equivale alla ricerca delle intersezioni della curva reale ${\displaystyle C}$ definita dall'equazione

                                                  ${\displaystyle y=f(x)}$                                                  (2)

con l'asse delle ${\displaystyle x}$^[1]. Si può senz'altro supporre che la (1) non

1. ↑ Noto che il metodo di Newton-Fourier sarebbe applicabile al problema più generale di calcolare le intersezioni di due curve qualsiasi.