Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/261

Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta.

Integrali

[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:261|3|0]]

$\int (x+a)^{m}dx={\frac {(x+a)^{m+1}}{m+1}}+C$ ( $m$ intero positivo $\not =-1$ )^[1]

$\int e^{x}dx=e^{x}+C$

$2ma^{2}\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{m+1}}}=(2m-1)\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}+{\frac {x}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}+c$ ^[2]

( $m$ intero positivo).

η) Se $f(x)=\int \varphi (x)dx$ , ossia $f'(x)=\varphi (x)$ , e $k$ è una costante, è $[kf(x)]'=kf'(x)=k\,\varphi (x)$ e quindi $\int k\varphi (x)dx=kf(x)=k\int \varphi (x)dx$ (a meno della solita costante additiva arbitraria).

Se $f_{1}(x)=\int \varphi _{1}(x)dx$ , $f_{2}(x)=\int \varphi _{2}(x)dx$ , allora $[f_{1}(x)+f_{2}(x)]'=f'_{1}(x)+f'_{2}(x)=\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(x)$ ; e quindi $\int \varphi _{1}dx+\int \varphi _{2}dx=f_{1}(x)+f_{2}(x)=\int [\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(x)]dx+{\text{cost.}}$

Si hanno così le formole (se $\varphi ,\varphi _{1},\varphi _{2}$ sono continue):

$\int k\varphi (x)dx=k\int \varphi (x)dx+C$ ( $k={\text{cost.}}$ ,

$\int [\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(x)]dx=\int \varphi _{1}(x)dx+\int \varphi _{(}x)dx+C$ ,

che sono di uso assai frequente.

↑ Così ${\frac {(x+a)^{m+1}-(1-a)^{m+1}}{m+1}}$ è quell'integrale indefinito che si annulla per $x=1$ . Se noi ne cerchiamo il limite per $m+1=0$ (p. Es. ponendo $m+1=z$ , derivi num. e den. rispetto $z$ , e quindi ponendo $z=0$ secondo la regola del § 63, β) si trova $(x+a)^{c}\log(x+a)-(1+a)^{z}\log(1+a)$ , che per $z=0$ diventa $\log(x+a)-\log(1+a)$ , cioè precisamente quell'integrale $\int {\frac {dx}{x+a}}$ che si annulla per $x=1$ .
↑ Dalla quarta riga di questo quadra si trae il valore di $\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}$ quando $m=1$ . Ponendo nellì'ultima riga successivamente $m=1,2,3,.....$ , se ne deducono successivamente il valore del nostro integrale per ogni valore intero positivo della $m$ . Questa formula si dimostra osservano che:
$\left({\frac {x}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}\right)={\frac {2ma^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{m+1}}}=-(2m-1){\frac {1}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}$ .

Questa voce è stata pubblicata da Wikisource. Il testo è rilasciato in base alla licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo. Potrebbero essere applicate clausole aggiuntive per i file multimediali.

[1] Così ${\frac {(x+a)^{m+1}-(1-a)^{m+1}}{m+1}}$ è quell'integrale indefinito che si annulla per $x=1$ . Se noi ne cerchiamo il limite per $m+1=0$ (p. Es. ponendo $m+1=z$ , derivi num. e den. rispetto $z$ , e quindi ponendo $z=0$ secondo la regola del § 63, β) si trova $(x+a)^{c}\log(x+a)-(1+a)^{z}\log(1+a)$ , che per $z=0$ diventa $\log(x+a)-\log(1+a)$ , cioè precisamente quell'integrale $\int {\frac {dx}{x+a}}$ che si annulla per $x=1$ .

[2] Dalla quarta riga di questo quadra si trae il valore di $\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}$ quando $m=1$ . Ponendo nellì'ultima riga successivamente $m=1,2,3,.....$ , se ne deducono successivamente il valore del nostro integrale per ogni valore intero positivo della $m$ . Questa formula si dimostra osservano che:
$\left({\frac {x}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}\right)={\frac {2ma^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{m+1}}}=-(2m-1){\frac {1}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}$ .

[1]

[2]