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capitolo xii — § 75

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§ 75. — Regole generali di integrazione.

Ci si potrebbe proporre di trovare per l'integrazione metodi analoghi a quelli svolti nei §§ 55-60 per la derivazione. Ma per l'integrazione non esistono metodi così perfetti, come quelli dati per calcolare le derivate. Si può dimostrare che al teorema di pag. 189 si può opporre il seguente:

Esistono delle funzioni $\mathrm {F(x)}$ calcolabili con un numero finito di operazioni elementari^[1], il cui integrale non è calcolabile con un numero finito di tali operazioni (ciò che avviene, p. es., per la radice quadrata di un polinomio generico di grado superiore al secondo; che pure è una funzione tanto semplice).

I pochi metodi che esporremo e che servono nei casi più semplici non sono in fondo che l'enunciato, con altre parole, di teoremi a noi già noti.

α) Abbiamo già detto al § 74, η, pag. 245, che se noi conosciamo

$\int f(x)dx$ e $\int \varphi (x)dx$ ,

noi possiamo subito calcolare

$\int [f(x)+\varphi (x)]dx=\int f(x)dx+\int \varphi (x)dx+C$

$\int kf(x)=k\int f(x)+C$ ( $k={\text{cost.}}$ ).

Formole affatto analoghe valgono per gli integrali definiti. Si ha cioè:

$\int _{a}^{b}[f(x)+\varphi (x)]dx=\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{a}^{b}\varphi (x)dx$

$\int _{a}^{b}kf(x)dx=k\int _{a}^{b}f(x)dx$ .

Così, per esempio:

$\int ({\text{sen}}\,x+{\text{cos}}\,x)dx=\int {\text{sen}}\,x\,dx+\int {\text{cos}}\,x\,dx=-{\text{cos}}\,x+{\text{sen}}\,x+C$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}({\text{sen}}\,x+{\text{cos}}\,x)dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\text{Sen}}\,x\,dx+\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\text{cos}}\,x\,dx=1+1=2$

↑ Cioè somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, innalzamento a potenza, consultazioni di tavole logaritmiche o trigonometriche.

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[1] Cioè somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, innalzamento a potenza, consultazioni di tavole logaritmiche o trigonometriche.

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