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β) Teorema di integrazione per sostituzione. Sia ${\displaystyle y=\int F(x)dx}$ donde ${\displaystyle y'_{x}=F(x)}$. Sia ${\displaystyle x=G(z)}$^[1] una funzione di una nuova variabile ${\displaystyle z}$ con derivata ${\displaystyle G'(z)}$ continua. Per la regola di derivazione di funzione di funzione sarà:

donde, per la stessa definizione d'integrale:

. Questa formola costituisce il cosidetto teorema d'integrazione per sostituzione; dal primo si passa al terzo membro, sostituendo alla x ed alla dx i loro valori G(z), G'(z) dz. Questa regola dimostra che il simbolo ${\displaystyle dz}$, che figura in ${\displaystyle \int f(x)dx}$ è scelto così opportunamente, che nel calcolo lo si può trattare con un differenziale^[2].

Da quanto precede si scorge che così l'integrazione del differenziale ${\displaystyle F(x)dx}$ è ridotta a quella del differenziale

l'integrale del quale, presa convenientemente la funzione ${\displaystyle x=G(z)}$ potrà talvolta riuscire più agevolmente calcolabile che quello del differenziale

Naturalmente non possono stabilirsi regole per riconoscere in ogni caso quale sia la sostituzione da farsi, ed il successo dipenderà anche dalla maggiore o minore pratica che si ha in calcoli di tal genere.

Talvolta è invece più comodo calcolare l'integrale ${\displaystyle \int F(x)dx}$, anzichè lo ${\displaystyle \int F(G)G'(z)dz}$. E in questo caso la nostra dimostrazione serve a ridurre al primo questo secondo integrale.

Osserviamo ancora che se, p. es., col nostro metodo riduciamo il calcolo di ${\displaystyle \int F(x)dx}$ al calcolo di ${\displaystyle F(G)G'(z)dz}$, allora noi otteniamo l'integrale espresso come funzione non più di ${\displaystyle x}$, ma della variabile ausiliaria ${\displaystyle z}$.

1. ↑ È sottinteso che, mentre la ${\displaystyle z}$ varia in un certo intervallo, la ${\displaystyle x}$ varii nell'intervallo ove è definito il nostro integrale.
2. ↑ Noi lo avevamo introdotto soltanto come un modo per indicare un integrale. Così p. es., avremo potuto introdurre altro modo di scrittura, p. es., scrivere ${\displaystyle \int f(x)}$ anzichè ${\displaystyle \int f(x)dx}$. Già di qui vediamo come sia felice il simbolismo adottato (cfr. anche il Cap. 15).