[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:273|3|0]]

cioè diventa l'integrale di una funzione razionale della ${\displaystyle z}$, che noi sappiamo calcolare.

${\displaystyle \gamma ^{2}}$) Si calcoli ora (1) nell'ipotesi ${\displaystyle a<0}$, Se ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ sono le radici di ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$, è (posto ${\displaystyle a=-k^{2}}$):

Questo polinomio dovendo essere positivo, affinchè (1) abbia significato reale, dovrà essere:

(4)                    ${\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )<0}$,

cosicchè le ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ non potranno essere complesse coniugate, nè uguali e reali^[1]. Le ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ saranno quindi reali e distinte. Dalla (4) si deduce che ${\displaystyle x-\alpha }$ e ${\displaystyle x-\beta }$ sono di segno contrario, e quindi che ${\displaystyle x-\alpha }$ e ${\displaystyle \beta -x}$ hanno lo stesso segno, ossia che si può porre

dove ${\displaystyle z}$ è un'altra variabile reale. Risolvendo rispetto ad ${\displaystyle x}$ si ha:

     ${\displaystyle x={\frac {\alpha +\beta z^{2}}{1+z^{2}}}}$;          donde:          ${\displaystyle dx=2(\beta -\alpha ){\frac {zdz}{(1+z^{2})^{2}}}}$,

cosicchè l'integrale (1) diventa:

che è un integrale di una funzione razionale delle ${\displaystyle z}$, e che noi quindi sappiamo calcolare^[2].

${\displaystyle \delta }$) Il caso ${\displaystyle a=0}$ è (per ${\displaystyle m=2}$) un caso particolare dell'integrale

     ${\displaystyle \int f(x{\text{,}}{\sqrt[{m}]{bx+c}})dx}${{spazi|10}(${\displaystyle m=}$ intero positivo); (${\displaystyle b\not =0)}$.

Questo integrale, posto ${\displaystyle {\sqrt[{m}]{(}}bx+c)=z}$, ${\displaystyle x={\frac {z^{m}-c}{b}}}$, ${\displaystyle dx={\frac {m}{b}}z^{m-1}dz}$, diventa l'integrale ${\displaystyle {\frac {m}{b}}\int f\left({\frac {z^{m}-c}{b}}{\text{,}}z\right)z^{m-1}dz}$

1. ↑ Se ${\displaystyle \alpha =a+ib}$, con ${\displaystyle b=0}$, o ${\displaystyle b\not =0}$, allora ${\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )=(x-a)^{2}+b^{2}\geq \,0}$.
2. ↑ In <math<\gamma^1</math>) e ${\displaystyle \gamma ^{2}}$) l'indeterminazione del segno per ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ corrisponde all'indeterminazione del segno per ${\displaystyle k}$.