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integrali

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QUADRO DEI METODI DI INTEGRAZIONE (cfr. pag. 244 e 190).

$\int (u+v)dx=\int udx+\int vdx+{\text{cost.}}$ (integrazione per somma) $\int f(x)dx=\int f[x(z)]x'(z)dz+$ cost. (integrazione per sostituzione) $\int u'vdx=uv-\int uv'dx+$ cost. (integrazione per parti).

Se $f$ indica nei singoli casi una funzione razionale della variabile, o delle variabili da cui dipende

$\int f(x)dx$	Si calcola scomponendo $f(x)$ nella somma di frazioni semplici di un polinomio, e di una derivata.
$f({\text{sen}}\,x,{\text{cos}}\,x)dx$	Si calcola introducendo come nuova variabile di integrazione	$z=tg{\frac {x}{2}}$ . Si può anche porre $z=tg\,x$ , se in $f$ entrano solo $tgx$ e potenze ad esponenti pari di ${\text{sen}}\,x$ , ${\text{cos}}\,x$ .
$\int f(x,{\sqrt[{m}]{ax+b}}dx$ , $a,b={\text{cost.}}$ ; $a\not =0$ , ( $m$ intero positivo)	Si calcola introducendo come nuova variabile di integrazione	$z={\sqrt[{m}]{ax+b}}$ ^[1]
$\int f(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}dc$ $a$ , $b$ , $c=$ cost.	Si calcola, assumendo a variabile $z$ di integrazione quella definita dalla	${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}(x+z)$ se $a>0$ $z^{2}=x-\alpha \choose \beta -x$ se $a>0$ , ed $\alpha$ , $\beta$ sono le radici di $ax^{2}+bx+c=0$ .
$\int f(x,{\sqrt {ax+b}},{\sqrt {cx+d}}dx$ $a,b,c,d={\text{cost.}}$ ; $a,c\not =0$	Si riduce al caso precedente assumendo a variabile di integrazione	$z={\sqrt {ax+b}}$
$\int f(e^{x})dz$	Si calcola assumendo a variabile di integrazione	$z=e^{x}$
Integrali binomii		cfr. pag. 258.

↑ Se capitano parecchi radicali $z={\sqrt[{\mu }]{ax+b}}$ , $z={\sqrt[{v}]{ax+b}}$ , ecc. si porrà $z={\sqrt[{m}]{ax+b}}$ , dove $m$ è il minimo comune multiplo degli indici $\mu$ , $v$ , ecc.

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[1] Se capitano parecchi radicali $z={\sqrt[{\mu }]{ax+b}}$ , $z={\sqrt[{v}]{ax+b}}$ , ecc. si porrà $z={\sqrt[{m}]{ax+b}}$ , dove $m$ è il minimo comune multiplo degli indici $\mu$ , $v$ , ecc.

[1]