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Analogamente si procederebbe, se ${\displaystyle f(x)}$ fosse singolare in ${\displaystyle b}$. Se ${\displaystyle f(x)}$ diventa singolare in un punto ${\displaystyle c}$^[1] interno ad (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$), allora se esitono, secondo le definizioni ora poste, gli integrali ${\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)dx}$ e ${\displaystyle \int _{c}^{b}f(x)dx}$, si pone per definizione

${\displaystyle \beta }$) Può esistere una funzione ${\displaystyle f(x)}$ che è singolare in ${\displaystyle c}$, pure essendo finita: p. es. una funzione discontinua nel punto ${\displaystyle c}$. Il caso più notevole è che siano finiti il ${\displaystyle \lim _{x=c-}f(x)}$ ed il ${\displaystyle \lim _{x=c+0}f(x)}$, ma che tali limiti sieno differenti l'uno dall'altro. Ciò, p. es., avviene per la funzione ${\displaystyle {\text{sen}}x+{\frac {x-c}{|x-c|}}}$. In tal caso la nostra definizione si può esporre in forma più semplice. Se, p. es., ${\displaystyle a<b}$, consideriamo in (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle c}$) una funzione ${\displaystyle f_{1}(x)}$ che, per${\displaystyle x\not =c}$ sia uguale ad ${\displaystyle f(x)}$ e nel punto ${\displaystyle c}$ sia uguale al ${\displaystyle \lim _{x=c-0}f(x)}$ ed in (${\displaystyle c}$, ${\displaystyle b}$) una funzione ${\displaystyle f_{2}(x)}$ che nel punto ${\displaystyle c}$ sia uguale al ${\displaystyle \lim _{x=c+0}f(x)}$, e nei punti ${\displaystyle x\not =c}$ sia uguale ad ${\displaystyle f(x)}$. Sarà:

per l'esempio ora citato sarà se ${\displaystyle a<c<b}$

${\displaystyle \gamma }$} Se ${\displaystyle f(x)}$ è definita nell'intervallo ${\displaystyle (a}$, ${\displaystyle +\infty }$) e se esiste ed è finito il ${\displaystyle \lim _{k=+\infty }\int _{a}^{k}f(x)dx}$, noi porrremo per definizione:

Analogamente, se ${\displaystyle f(x)}$ è definita per ${\displaystyle x\leq \ a}$, porremo per definizione

1. ↑ Si può porre una definizione analoga nel caso che vi sia un numero finito di punti singolari.