[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:278|3|0]]

se il limite del secondo membro esiste ed è finito. Infine porremo, se ${\displaystyle f(x)}$ è definita per ogni valore della ${\displaystyle x}$,

se il limite del 2° membro esiste ed è finito.

Così, p. es., essendo

è:

Così, poichè ${\displaystyle \lim _{k=\infty }\int _{0}^{h}{\text{cos}}\,x\,dx=\lim _{k=\infty }({\text{sen}}\,k)}$ non esiste non ha alcun significato l'espressione ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\text{cos}}\,x\,dx}$^[1].

Agli integrali di questo paragrafo si possono in molti casi estendere le regole di integrazione per somma, per sostituzione, per parti.

Così ${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{(x-a)^{n}}}dx}$ esiste, se esiste ed è finito il ${\displaystyle \lim _{\epsilon =0}\int _{a+\epsilon }^{b}{\frac {1}{(x-a)^{n}}}dx}$ (ove ${\displaystyle \epsilon }$ abbia il segno di ${\displaystyle b-a}$) cioè il ${\displaystyle \lim _{\epsilon =0}\left[{\frac {(b-a)^{1-n}}{1-n}}-{\frac {\epsilon ^{1-n}}{1-n}}\right]}$ se ${\displaystyle n\not =1}$, oppure il ${\displaystyle \lim _{\epsilon =0}\left[\log |b-a|-\log |\epsilon |\right]}$ se ${\displaystyle n=1}$. Questo limite è infinito per ${\displaystyle n\geq \,1}$, finito per ${\displaystyle n<1}$. Sia ${\displaystyle f(x)}$ una funzione continua nell'intervallo (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$), il punto ${\displaystyle a}$ al più escluso</math>; esista un intorno (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle c}$ di ${\displaystyle a}$ [${\displaystyle c}$ compreso tra ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$], tale che in esso ${\displaystyle |f(x)|<k{\frac {1}{(x-a)^{n}}}}$ con ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle n}$ costanti, ed ${\displaystyle n<1}$. Definiamo due funzioni ${\displaystyle \varphi (x)}$ e ${\displaystyle \Psi (x)}$ ponendo ${\displaystyle \varphi (x)=f(x)}$ e ${\displaystyle Psi(x)=0}$ nei punti ove ${\displaystyle f(x)>0}$; ponendo ${\displaystyle \Psi (x)=-f(x)}$, ${\displaystyle \varphi (x)=0}$ nei punti ove ${\displaystyle f(x)\leq \ ,0}$. Le ${\displaystyle \varphi (x)}$, ${\displaystyle \Psi (x)}$ saranno funzioni continue positive o nulle (escluso al più il punto ${\displaystyle x=a}$), non superiori ad ${\displaystyle |f(x)|}$. Ora sia ${\displaystyle \int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx}$ che ${\displaystyle \int _{a+\epsilon }^{b}\Psi (x)dx}$ variano nello stesso verso quando ${\displaystyle \epsilon }$ (che ha il segno di ${\displaystyle b-a}$) tende a zero, e perciò tendono per ${\displaystyle \epsilon =0}$ ad un limite. Poichè p. es. ${\displaystyle \int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx=\int _{a+\epsilon }^{c}\varphi (x)dx+\int _{c}^{b}\varphi (x)dx}$ e ${\displaystyle \varphi (x)}$ nell'intervallo (${\displaystyle a+\epsilon }$, ${\displaystyle c}$) non

1. ↑ Si lascia al lettore di completare le precedenti definizioni, per il caso che nell'intervallo (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle +\infty }$) o (${\displaystyle -\infty }$, ${\displaystyle a}$) o (${\displaystyle -\infty }$, ${\displaystyle \infty }$), vi fosse un numero finito di punti singolari per ${\displaystyle f(x)}$.