[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:291|3|0]]superiore rispetto a ${\displaystyle {\sqrt {h^{2}+k^{2}}}}$, perchè ${\displaystyle \alpha ,\beta }$, come sappiamo, tendono a zero per ${\displaystyle h=0,k=0}$. La prima quantità ${\displaystyle kf'_{x}+kf'_{y}}$ sarò detta differenziale della funzione e sarà indicata brevemente col simbolo ${\displaystyle df}$

Possiamo dunque scrivere, quando l'incremento

della funzione si indichi con ${\displaystyle \Delta f}$,

Osserviamo che, se ${\displaystyle f(x,y)=x}$, è ${\displaystyle f'_{x}=1}$, ${\displaystyle f'_{y}=0}$; e quindi

Analogamente il differenziale ${\displaystyle dy}$ vale ${\displaystyle k}$.

Il differenziale della funzione generale ${\displaystyle f/x,y)}$ sarà dunque

Ne risulta confermato che ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ e ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ non sono (almeno secondo le definizioni qui poste)^[1] quozienti di differenziali, ma veri e proprii simboli.

In modo analogo si pone per una funzione di più variabili ${\displaystyle f(x,y,.....,z,t)}$ la quale possegga derivata prima continue:

È evidente che l'analogia di questi ragionamenti e di queste definizioni con le corrispondenti proposizioni relative alle funzioni di una sola variabile. Nel caso attuale si è dovuto soltanto ammettere in più la continuità delle derivate prime della ${\displaystyle f}$.

${\displaystyle \alpha }$)) Sia ${\displaystyle z}$ una funzione ${\displaystyle f(x,y)}$ di due variabili ${\displaystyle x,y}$, le quali sieno funzioni di una variabile ${\displaystyle t}$. Quando ${\displaystyle t}$ varia in un certo intervallo ${\displaystyle \gamma }$, i lpunto ${\displaystyle (x,y)}$ varii nel campo ove è definita la ${\displaystyle z}$, cosicchè la ${\displaystyle z}$ sia funzione della ${\displaystyle t}$ nell'intervallo ${\displaystyle \gamma }$.

Sieno ${\displaystyle f'_{x},f'_{y}}$ finite e continue, ${\displaystyle x'_{z}}$ e ${\displaystyle y'_{t}}$ finite. Quando la ${\displaystyle t}$ riceve un incremento ${\displaystyle \Delta t}$, siano ${\displaystyle \Delta x,\Delta y}$ i corrispondenti incre-

1. ↑ Si potrebbero definire i differenziali parziali ${\displaystyle \partial _{x}f=f'_{x}dx}$; ${\displaystyle \partial _{y}f=f'_{y}dy}$, e interpretare allora ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ e ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ come quozienti, i cui numeratori fossero ${\displaystyle \partial _{x}f,\partial _{y}f}$, e i denominatori ${\displaystyle dx,dy}$. Ma ciò porterebbe soltanto complicazioni.