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Anzi, poichè ${\displaystyle y}$ è la somma di (8), ne segue che:

cosicchè anche il punto ${\displaystyle \mathrm {(x,y)} }$ appartiene a ${\displaystyle \mathrm {\delta } }$. E, poichè la (8) ha termini che per ${\displaystyle |x-x_{0}|\leq h_{1}}$ sono funzioni continue, anche la ${\displaystyle \mathrm {y} }$, che ne è la somma, è una funzione continua della ${\displaystyle \mathrm {x} }$ per ${\displaystyle \mathrm {|x-x_{0}|\leq h_{1}} }$.

Ricordando che ${\displaystyle \psi }$ è funzione continua di ${\displaystyle x,y}$, si ha poi, passando al limite per ${\displaystyle n=\infty }$ nell'ultima delle (3):

Alle domande da noi poste in principio del capoverso ${\displaystyle \beta }$ si deve comunque rispondere affermativamente. È bene evidente che ${\displaystyle y=y_{0}}$ per ${\displaystyle x=x_{0}}$. Dalle (3) si deduce subito infatti (ricordando che ${\displaystyle \psi (x_{0},y_{0})=0}$): ${\displaystyle y_{1}=y_{0},y_{2}=y_{0},.....,y_{n}=y_{0}}$ per ${\displaystyle x=x_{0}}$. Quindi anche ${\displaystyle y=\lim _{n=\infty }y_{n}=y_{0}}$ per ${\displaystyle x=x_{0}}$^[1].

Ora dimostreremo che in un intorno abbastanza piccolo di ${\displaystyle \mathrm {x=x_{0}} }$ non esiste altra funzione continua ${\displaystyle \mathrm {y} }$ della ${\displaystyle \mathrm {x} }$, che per ${\displaystyle \mathrm {x=x_{0}} }$, si riduca ad ${\displaystyle \mathrm {y_{0}} }$, la quale soddisfi alla ${\displaystyle \mathrm {f(x,y)=0} }$. Se infatti vi fosse un'altra tale funzione, e noi la indicassimo con ${\displaystyle z}$, sarebbe

che è uguale a ${\displaystyle z-y_{n-1}}$ moltiplicando per un valore intermedio di ${\displaystyle \psi '_{y}}$.

Ora in un intorno abbastanza piccolo di ${\displaystyle x=x_{0}<math>,<math>y_{n-1}}$ e la ${\displaystyle z}$ differiscono da ${\displaystyle y_{m}}$ per meno di ${\displaystyle k_{1}}$; e un tale valore intermedio non supera quindi ${\displaystyle H}$; cosicchè ${\displaystyle |z-y_{n}|\leq H|<-y_{n-1}|}$. Sarà pure ${\displaystyle |z-y_{n-1}|\leq H|z-y_{n-2}|}$, ecc.; e se ne deduce ${\displaystyle |z-y_{n}|\leq H^{n-1}|z-y_{1}|}$. Poichè ${\displaystyle \lim _{n=\infty }H^{n-1}=0}$, se ne deduce, passando al limite per ${\displaystyle n=\infty }$, che ${\displaystyle \lim _{n=\infty }(z-y_{n})=0}$, ossia che ${\displaystyle z=y}$ c. d. d. <ref>Si potrebbe dimostrare questa asserzione anche così. Se ${\displaystyle f(x,y)-f(x,z)=0}$, per il teorema della media è ${\displaystyle {\overline {f''_{n}}}[y-z]=0}$, dove con ${\displaystyle {\overline {f''_{x}}}}$ indico un valore intermedio di ${\displaystyle f'_{v}}$. Se ${\displaystyle y\not =z}$ se ne deduce che questo valore intermedio ${\displaystyle {\overline {f'_{y}}}}$ è nullo. Ciò che è assurdo, perchè per ${\displaystyle x}$ abbastanza prossimo a ${\displaystyle x_{n}}$, le ${\displaystyle y}$ e le ${\displaystyle z}$ sono prossime ad ${\displaystyle y_{0}}$ e (poichè ${\displaystyle f'_{y}(x_{0},y_{0})\not =0}$, ed ${\displaystyle f'_{x}}$ è continua) la ${\displaystyle f'_{y}}$ è differente da zero in tutto un intorno del punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.</ref>.

Vogliamo provare l'esistenza di ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ per ${\displaystyle x=x_{0}}$, e calcolare tale derivata. È ${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$, E sia ${\displaystyle \Delta y}$ l'incremento che riceve la ${\displaystyle y}$, quando la ${\displaystyle x}$ riceve l'incremento ${\displaystyle \Delta x}$. Sarà ${\displaystyle f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)=0}$; e quindi anche, sottraendo,

1. ↑ Se si volesse soltanto dimostrare l'esistenza della funzione ${\displaystyle y}$ della ${\displaystyle x}$, senza insegnare a calcolarla, si potrebbe procedere così. Essendo ${\displaystyle f'_{n}\not =0}$ per ${\displaystyle x=0y=y_{0}}$ la curva ${\displaystyle Y=f(x_{0},X)}$ tracciata nel piano ${\displaystyle (X,Y)}$, che incontra l'asse delle ${\displaystyle X}$ nel punto ${\displaystyle X=y_{0}}$, attraversa in tale punto tale asse, cosicchè ${\displaystyle f(x_{0},y_{0}+k)}$ e ${\displaystyle f(x_{0},y_{0}-k)}$ sono di segno contrario, se ${\displaystyle k}$ è abbastanza piccolo. Quindi, se ${\displaystyle x}$ è avvastanza prossimo ad ${\displaystyle x_{0}}$, anche ${\displaystyle f'(x,y_{0}+k)}$ e ${\displaystyle f(x,y_{0}-k)}$ sono di segno opposto; ed esiste perciò un punto ${\displaystyle y}$ compreso tra ${\displaystyle y_{0}+k}$ e ${\displaystyle y_{0}-k}$ tale che ${\displaystyle f(x,y)=0}$. Esiste perciò un tale valore di ${\displaystyle y}$ per ogni valore di ${\displaystyle x}$ abbastanza prossimo ad ${\displaystyle x_{0}}$.