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ossia, per il teorema della media:

Poichè ${\displaystyle y}$ è funzione continua della ${\displaystyle x}$, è ${\displaystyle \lim _{|}deltax=0\Delta y=0}$. Dividendo la precedente formola per ${\displaystyle \Delta xf'_{y}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\theta \Delta y)}$, e passando al limite per ${\displaystyle \Delta x=0}$, ossia ${\displaystyle \Delta x=\Delta y=0}$, si trova:

Poichè il limite del primo addendo esiste ed è finito (è uguale a ${\displaystyle {\frac {f'_{x}(x_{0},y_{0})}{f'_{y}(x_{0},y_{0})}}}$, il cui denominatore è per ipotesi differente da zero, sarà

formola che ora ritroveremo per altra via, ammettendo a priori l'esistenza di ${\displaystyle y}$ e di ${\displaystyle y}$.

Oss.Tutti questi risultati potrebbero essere falsi, se ${\displaystyle f'y(x_{0},y_{0})=0}$.

Così, p. es. si osservi che l'equazione ${\displaystyle f=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=0}$, pure essendo soddisfatta per ${\displaystyle x=x_{0},y=y_{0}}$, non ammette soluzioni reali per ${\displaystyle x-x_{0}\not =0}$. E si noti che è appunto ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=2(y-y_{0})=0}$ per ${\displaystyle y=y_{0}}$. Così pure l'equazione ${\displaystyle f=x^{2}-y^{2}=0}$ è soddisfatta per ${\displaystyle x=y=0}$; ed esistono due (non una) funzioni ${\displaystyle y=x,y=-x}$, continue e nulle per ${\displaystyle x=0}$ che ad essa soddisfano. E di nuovo si verifica che ${\displaystyle f'_{x}=2y=0}$ per ${\displaystyle y=0}$.

Infine si noti che l'ultima formola si scrive di solito

(9)                              ${\displaystyle y'_{x}={\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f'_{x}(x,y)}{f'y(x,y)}}}$

perchè essa ci dà il valore di ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ non nel solo punto ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$, ma in tutti i punti ${\displaystyle (x,y)}$ di un suo intorno, che soddisfano alla ${\displaystyle f(x,y)=0}$.

${\displaystyle \gamma }$) Se noi ammettiamo l'esistenza e la derivabilità della funzione ${\displaystyle y=\varphi (x)}$ delle ${\displaystyle x}$ che soddisfa alla ${\displaystyle f(x,y)=0}$, possiamo in altro modo più semplice determinare la derivata ${\displaystyle y'_{x}}$.

Ponendo ${\displaystyle y=\varphi (x)}$ in ${\displaystyle f(x,y)}$, si ottiene una funzione ${\displaystyle f[x,\varphi (x)]}$ identicamente nulla della sola ${\displaystyle x}$ (cioè nulla per ogni valore della ${\displaystyle x}$).

[Si noti che invece la ${\displaystyle f(x,y)}$ non è identicamente nulla per tutti i valori delle ${\displaystyle x,y}$. Altrimenti sarebbe, contro l'ipotesi fatta, non solo ${\displaystyle f'_{x}=0}$, ma anche ${\displaystyle f'_{y}=0}$].

1. ↑ Da questa formola si potrebbe dedurre in altro modo che la ${\displaystyle y}$ è funzione continua della ${\displaystyle x}$, p. es. nel punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ossia che ${\displaystyle \lim _{\delta x=0}\Delta y=0}$. Infatti, essendo ${\displaystyle f'_{x}}$ continuo e quindi inferiore in valore assoluto ad una costante finita, è
   ${\displaystyle \lim _{\Delta x=0}\Delta xf'_{x}(x_{0}+\theta '\Delta x,y_{0})=0}$.
   Dalla formola precedente segue che anche il ${\displaystyle \lim _{\Delta x=0}\Delta yf'_{y}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\theta \Delta y)=0}$. Poichè il limite del secondo fattore è differente da zero, sarà ${\displaystyle \lim _{\Delta x=0}\Delta y=0}$ c.d.d.