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Le condizioni necessarie si possono meglio studiare così: Su ogni retta

${\displaystyle x=x_{0}+mt}$

${\displaystyle y=y_{0}+nt}$

(${\displaystyle m,n=}$ cost.)

uscente dal punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ cioè dal punto ${\displaystyle A}$, la funzione ${\displaystyle f(x,y)}$ ha nelle nostre ipotesi un massimo o un minimo per ${\displaystyle t=0}$.

[Viceversa non si può dire che, se ${\displaystyle A}$ è punto di massimo o di massimo su ogni retta uscente da ${\displaystyle A}$, esso sia un punto di massimo o di minimo, come si vede con metodo analogo a quello svolto al § 80, a, pagina 268].

Cioè ${\displaystyle f(x_{0}+mt,y_{0}+nt)}$ ha un massimo o un minimo per ${\displaystyle t=0}$. Se dunque ${\displaystyle f}$ ha derivate prime e seconde finite e continue, sarà per ${\displaystyle t=0}$ e per valori qualsiasi (non nulli contemporaneamente) di ${\displaystyle m,n}$:

Ora, affinchè ${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=0}$, qualunque siano ${\displaystyle m,n}$ non contemporaneamente nulle dovrà essere ${\displaystyle f'_{x}(x_{0},y_{0})=f'_{y}(x_{0},y_{0})=0}$. Affinchè ${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}}$ abbia segno costante, qualunque siano ${\displaystyle m,n}$ dovrà essere ${\displaystyle f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}\geq \,0}$ nel punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. Queste sono dunque altre condizioni necessarie, affinchè la ${\displaystyle f(x,y)}$ abbia nel punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ un massimo o un minimo, almeno se le derivate prime e seconde di ${\displaystyle f}$ sono continue. Noi proveremo che:

Condizioni sufficienti sono le:

${\displaystyle f'_{x}=f'_{y}=0}$; ${\displaystyle {f''}_{xx}{f''}_{yy}-{f''}_{xy}^{2}>0}$; ${\displaystyle f'_{x},f'_{y},f''_{xx},f''_{xy},f''_{yy}}$ finite e continue (nel punto ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$). (Si noti che ${\displaystyle f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}\geq 0}$ è condizione necessaria, mentre ${\displaystyle f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}>0}$ è condizione sufficiente).

E, se tali condizioni sufficienti sono soddisfatte, il punto ${\displaystyle \mathrm {(x_{0},y_{0})} }$ è punto di massimo se ${\displaystyle \mathrm {f''_{xx},f''_{yy}} }$ sono nel punto considerato negative; esso è un punto di minimo, se ${\displaystyle \mathrm {f''_{xx},f''_{yy}} }$ sono positive. (Dalla ${\displaystyle f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}>0}$ segue che ${\displaystyle f''_{xx}f''_{yy}}$ hanno lo stesso segno). Infatti, supposto che in ${\displaystyle A=(x_{0},y_{0})}$ sia ${\displaystyle f'_{x}=f'_{y}=0}$, la formola di Taylor-Lagrange dà

(1)	${\displaystyle f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})={\frac {1}{2}}\{h^{2}{\bar {f''}}_{xx}+2hk{\bar {f''}}_{xy}+k^{2}{\bar {f''}}_{yy}\}}$

ove il soprassegno indica che le derivate seconde sono calcolare in un punto ${\displaystyle x_{0}+\theta h,y_{0}+\theta k}$ con ${\displaystyle 0<\theta <1}$.

Ora, essendo tali derivate seconde continue, basterà scegliere ${\displaystyle |h|,|k|}$ abbastanza piccolo perchè ${\displaystyle {\bar {f''}}_{x}x}$ abbia il segno di ${\displaystyle f''_{xx}}$ e ${\displaystyle {\bar {f''}}_{xx}{\bar {f''}}_{yy}-{\bar {f''}}_{xy}^{2}}$ abbia il segno di ${\displaystyle f''_{xx}-f''_{xy}-{f''}_{xy}^{2}}$ cioè sia positivo. Il trinomio posto al 2° membro di (1), e quindi anche