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dove ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ sono i valori della ${\displaystyle t}$ corrispondenti ai punti ${\displaystyle A,B}$ di ${\displaystyle \Gamma }$, e dove ${\displaystyle x(t),y(t)}$ sono finite e continue nell'intervallo ${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$, e la ${\displaystyle x'(t),y'(t)}$ sono continue od hanno un numero finito di punti di discontinuità (§ 78, pag. 261).

Noi chiameremo integrale i ${\displaystyle Mdx+Ndy}$ esteso a tale arco di curva lo:

           ${\displaystyle \int _{\lambda }^{\mu }\{M[x(t),y(t)]x'(t)+N[x(t),y(t)]y'(t)\}dt}$,           (2)

il cui integrando si deduce da ${\displaystyle Mdx+Ndy}$, sostituendovi alle ${\displaystyle x,y,dx,dy}$ i valori che deducono da (1). È così generalizzata nel modo più semplice la definizione sopra data di integrali estesi a segmenti.

È appena necessario avvertire che, essendo ${\displaystyle dx,dy}$ indipendenti dalla scelta della variabile indipendente, il valore di (2) non cambia se cambiano i lparametro ${\displaystyle \mathrm {t} }$ scelto per individuare i punti di ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$; e ciò in virtù del teorema di integrazione per sostituzione (cfr. anche il penultimo capitolo del libro). Tale integrale dipende dunque soltanto dal differenziale ${\displaystyle \mathrm {Mdx+Ndy} }$ e dall'arco ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$ dato a priori (e cambia di segno invertendo il verso in cui ${\displaystyle \Gamma }$ si immagina percorso, cioè scambiando i punti ${\displaystyle A,B}$).

Ci poniamo ora la seguente domanda fondamentale:

Che valore ha il nostro integrale, se esiste una funzione ${\displaystyle \mathrm {f(x,y)} }$, il cui differenziale ${\displaystyle \mathrm {df} }$ è ${\displaystyle \mathrm {M(x,y)dx+N(x,y)dy} }$?

Evidentemente lungo ${\displaystyle \Gamma }$ la ${\displaystyle f}$ è funzione di ${\displaystyle x,y}$ entrambe funzioni della ${\displaystyle t}$, e perciò la ${\displaystyle f}$ è una funzione di ${\displaystyle t}$, la cui derivata vale

perchè dalle

si deduce

Quindi il nostro integrale (2) diventa

1. ↑ La ${\displaystyle M[x(t),y(t)]}$ ed ${\displaystyle N[x,(t),y(t)]}$ sono i valori assunti delle ${\displaystyle M,N}$ nei punti del nostro arco ${\displaystyle \Gamma }$ Ammetto qui la continuità delle ${\displaystyle x'(t),y'(t)}$. Il lettore potrà facilmente studiare le lievi modifica<ioni da apportarsi alla seguente dimostrazione nel caso che ${\displaystyle x'(t),y'(t)}$ abbiano qualche punto di discontinuità.