^[1] Si può rendere piccola a piacere (minore di un ${\displaystyle \epsilon >0}$ piccolo a piacere) la differenza ${\displaystyle \mathrm {\Sigma M\delta -\Sigma m\delta } }$, considerando degli intervallini ${\displaystyle \mathrm {\delta } }$ abbastanza piccoli [che tale differenza (non conveniente scelta dei ${\displaystyle \delta }$] si possa rendere piccola, segue dal precedente teorema; la presente osservazione precisa che i ${\displaystyle \delta }$ saranno scelti convenientemente, se saranno scelti abbastanza piccoli]. A fortiori, se indichiamo con ${\displaystyle F}$ uno qualunque dei valori asunti da ${\displaystyle F(x)}$

1. ↑ sterà un sistema di intervallini parziali ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},.....,\theta _{n}}$ tali che, se ${\displaystyle \mu }$ è il minimo di ${\displaystyle F(x)}$ in ${\displaystyle \theta }$, sia
   ${\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)dx\geq \Sigma \mu \theta \geq \int _{a}^{b}F(x)dx-{\frac {\epsilon }{2}}.}$
   E ciò perchè ${\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)dx}$ è proprio il limite superiore delle ${\displaystyle \Sigma m\delta }$ (o delle ${\displaystyle \Sigma \mu \theta }$). Consideriamo un altro qualsiasi sistema di intervalli ${\displaystyle \delta }$, ciascuno dei quali sia più piccolo del minimo tra gli intervalli ${\displaystyle \theta }$ e sia più piccolo anche di ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2nH}}}$, se ${\displaystyle H}$ è il massimo di ${\displaystyle |f(x)|}$ in ${\displaystyle (a,b)}$. Sia ${\displaystyle \delta '}$ quel sistema di intervallini che si ottiene dividendo ${\displaystyle (a,b)}$ in parti sia coi punti estremi dei ${\displaystyle \theta }$, sia coi punti estremi del ${\displaystyle \delta }$. Poichè i ${\displaystyle \delta '}$ sono ottenuti sia dai ${\displaystyle \delta }$ che dai ${\displaystyle \theta }$, intercalando nuovi punti di divisione, sarà: ${\displaystyle \Sigma m'\delta '\geq \Sigma \mu \theta }$; ${\displaystyle \Sigma m'\delta '\geq \Sigma m\delta }$,mentre è ${\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)dx\geq \Sigma m'\delta '}$. Ora nel passare dai ${\displaystyle \delta }$ agli intervallini ${\displaystyle \delta '}$, al più ${\displaystyle n}$ degli intervalli ${\displaystyle \delta }$ sono stati divisi in (due) parti (perchè un ${\displaystyle \delta }$ non può contenere tutto un ${\displaystyle \theta }$ per l'ipotesi fatta) e gli intervallini ${\displaystyle \delta '}$, che si ottengono dividendo oin due parti al più ${\displaystyle n}$ intervalli ${\displaystyle \delta }$ hanno complessivamente una lunghezza che non può superare ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2nH}}}$ ${\displaystyle \left({\text{perch+ ogni}}\delta {\text{non supera}}{\frac {\epsilon }{2nH}}\right)}$. Il contributo che essi danno nella somma ${\displaystyle \Sigma m'\delta '}$ non può superare ${\displaystyle nH{\frac {\epsilon }{2nH}}={\frac {\epsilon }{2}}}$. Poichè gli altri intervalli ${\displaystyle \delta }$ sono contemporaneamente intervalli ${\displaystyle \delta '}$, la somma ${\displaystyle \Sigma m'\delta '}$ superarà ${\displaystyle \Sigma m\delta }$ al più di ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$; cosicchè ${\displaystyle \Sigma m\delta \geq \Sigma m'\delta '-{\frac {\epsilon }{2}}}$. Poichè ${\displaystyle \Sigma m'\delta '\geq \Sigma \mu \theta \int _{a}^{b}F(x)dx-{\frac {\epsilon }{2}}}$, sarà: ${\displaystyle m\delta \geq \int _{a}^{b}F(x)dx-\epsilon }$. È già noto che ${\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)dx\geq \Sigma m\delta }$. Cosicchè, se i ${\displaystyle \delta }$ sono scelti abbastanza piccoli (nel modo sopra precisato), la ${\displaystyle \Sigma m\delta }$ differisce da ${\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)}$ per mendo di ${\displaystyle \epsilon }$ In modo analogo si prova che, se i ${\displaystyle \delta }$ sono abbastanza piccoli, ${\displaystyle \Sigma M\delta }$ differisce da ${\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)dx}$ per meno di ${\displaystyle \epsilon }$. Quindi, preso un numero ${\displaystyle 2\epsilon >}$ piccolo a piacere, possiamo scegliere un numero ${\displaystyle \tau }$ tale che, se tutti i ${\displaystyle \delta }$ sono minori di ${\displaystyle \tau }$, allora ${\displaystyle [\Sigma M\delta -\Sigma m\delta ]}$ sia minore di ${\displaystyle 2\epsilon }$. c.d.d.