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${\displaystyle \alpha }$) Se ${\displaystyle I}$ è un intervallo, o una figura piana^[1], p un solido, noi diremo che ${\displaystyle S(\tau )}$ è una funzione additiva dei pezzi ${\displaystyle \tau }$^[2] di ${\displaystyle \mathrm {I} }$, se per ogni pezzo ${\displaystyle \mathrm {\tau } }$ di ${\displaystyle \mathrm {I} }$ esiste uno e un solo valore di ${\displaystyle \mathrm {S} }$; e se in più, quando ${\displaystyle \mathrm {\tau } }$ è somma di due punti ${\displaystyle \mathrm {\tau ',\tau ''} }$, è ${\displaystyle \mathrm {S(\tau )=\S (\tau ')+S(\tau '')} }$.

Così, se ${\displaystyle I}$ è una sbatta, o una lamina piana, o un solido pesante, il peso ${\displaystyle m}$ di un pezzo ${\displaystyle \tau }$ di ${\displaystyle I}$ è funzione additiva di ${\displaystyle \tau }$.

Così, se ${\displaystyle I}$ è una lamina, o un corpo elettrizzato, la componente, p. es., sull'asse delle ${\displaystyle x}$, dell'attrazione che un pezzo ${\displaystyle \tau }$ di ${\displaystyle I}$ esercita su un punto elettrizzato ${\displaystyle M}$ è una funzione additiva di ${\displaystyle \tau }$.

Daesame della figura composta di due soli punti materiali, la Meccanica induce il seguente teorema: Se ${\displaystyle \mathrm {I} }$ è una lamina o un corpo pesante, il peso ${\displaystyle \mathrm {m} }$ di un suo pezzo ${\displaystyle \mathrm {\tau } }$ moltiplicato per una coordinata, p. es., l'ascissa ${\displaystyle \mathrm {x} }$ del centro i gravità di ${\displaystyle \mathrm {\tau } }$ è una funzione additiva ${\displaystyle \mathrm {X(\tau )} }$ della ${\displaystyle \mathrm {\tau } }$. Cosicchè, l'ascissa ${\displaystyle \mathrm {x} }$ del centro di gravità appare come quoziente delle ${\displaystyle \mathrm {X,m} }$; entrambe funzioni additive i ${\displaystyle \tau }$.

Più avanti vedremo che la ricerca della lunghezza di una curca e dell'area di una superficie sghemba si riducono al calcolo di speciali funzioni additive. Bastino questi tempi a illustrare l'importanza di tali funzioni!

1. ↑ Si potrebbero anche considerare degli ${\displaystyle I}$ che fossero un pezzo di una linea, o di una superficie qualsiasi, p. es., un arco ${\displaystyle I}$ di cerchio, o un poligono sferico ${\displaystyle I}$
2. ↑ Ci limiteremo a consideare quei pezzi ${\displaystyle \tau }$ di ${\displaystyle I}$, che posseggono una misura (p. es., lunghezza, area, volume). Per il significato delle parole: figura piana, suo contorno, ecc., cfr. l'osservazione a pag. 25. Ni ci limiteremo sempre a figure piace o solide, il cui contorno è formato da un numero finito di linee o superfici, rappresentabili con equazioni, i cui membri sono finiti e continui con le loro derivate.