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${\displaystyle \beta }$) Il seguente esempio ha per noi una specialissima importanza. Sia ${\displaystyle z=F(x,y)}$ l'equazione di un pezzo ${\displaystyle K}$ di superficie; sia ${\displaystyle F\geq =}$; sia ${\displaystyle I}$ la proiezione di ${\displaystyle K}$ sul piano ${\displaystyle xy}$.

Sia ${\displaystyle F(x,y)}$ continua. Chiamiano cilindroide la figura solida limitata da ${\displaystyle K}$, da ${\displaystyle I}$ (base del cilindroide) e dal cilindro proiettante il controno di ${\displaystyle K}$ sul controno di ${\displaystyle I}$.

Ogni pezzo ${\displaystyle \tau }$ di ${\displaystyle I}$ sarà base di un cilindroide parziale: luogo di quei punti del cilindroide inziale, che si proiettano sul piano ${\displaystyle xy}$ in pnti di ${\displaystyle \tau }$. Il volume ${\displaystyle \mathrm {S(\tau )} }$ di tale cilindroide parziale (o, se tale volume non fosse definito, il volume interno oppure il volume esterno di tale cilindroide) è una funzione additiva di ${\displaystyle \mathrm {\tau } }$.

Infatti se ${\displaystyle \tau }$ è somma dei due pezzi ${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}}$, allora il cilindroide parziale di base ${\displaystyle \tau }$ è somma di cilindroidi aventi per base${\displaystyle \tau _{1}}$, oppure ${\displaystyle \tau _{2}}$. (Per i volumi interni od esterni cfr. quando si disse per l'area esterna od interna di un rettangoloide apag. 25).

${\displaystyle \gamma }$) Se ${\displaystyle S(\tau )}$ è una funzione additiva dei pezzi ${\displaystyle \tau }$ di ${\displaystyle I}$, e se ${\displaystyle \tau }$ è la misura^[1] (p. es., lunghezza, area, volume, ecc.) dei pezzi ${\displaystyle \tau }$, allora piò darsi che il rapporto ${\displaystyle {\frac {S(\tau )}{\tau }}}$ tenda ad un limite finito, quando tutti i punti si ${\displaystyle \tau }$ si avvicinano a un punto ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle I}$. Se tale limite esiste per tutti i punti ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle I}$, esso è una funzione ${\displaystyle \mathrm {F} }$ delle coordinate del punto ${\displaystyle \mathrm {A} }$. (Cioè esso non è più, come ${\displaystyle S(\tau )}$, una funzione del campo ${\displaystyle \tau }$, ma soltanto una funzione delle una, due o tre coordinate del punto ${\displaystyle A}$). Se questa funzione ${\displaystyle F}$ è continua, noi la chiameremo derivata di ${\displaystyle S}$ (rispettp a ${\displaystyle \tau }$ e scriveremo ${\displaystyle S'_{\tau }=F}$. Se, p. es., ${\displaystyle I}$ è una figura pesante, e se ${\displaystyle S(\tau )}$ è il peso del pezzo ${\displaystyle \tau }$, allora ${\displaystyle F}$ è la densità nel punto ${\displaystyle A}$.

Es. I. Se ${\displaystyle \S (\tau )}$ è il volume del precedente cilindroide parziale, si dimostra (analogamente a quanto si è fatto a pag. per i rettangoloidi) che la sua derivata in un punto ${\displaystyle A}$ vale precisamente il valore in questo punto di ${\displaystyle z=F(x,y)}$

Es. II. Così sia ${\displaystyle I}$ una lamina o un corpo pesante; assumiamo come misura ${\displaystyle \tau }$ di un suo pezzo ${\displaystyle \tau }$ non già l'area o il volume di ${\displaystyle \tau }$, ma precisamente il peso ${\displaystyle \tau }$ di ${\displaystyle \tau }$^[2]. Sia ${\displaystyle X(\tau )}$ quella funzione additiva di ${\displaystyle \tau }$, che è uguale al prodoto del peso ${\displaystyle \tau }$ di ${\displaystyle \tau }$ per l'ascissa ${\displaystyle x_{\theta }}$ del suo centro di gravità. La ${\displaystyle X(\tau )=\tau x_{g}}$ è

1. ↑ Indichiamo quasi sempre con la stessa lettera un campo, e la sua misura.
2. ↑ Anche comunemente è molteplice il modo di definire la misura di un corpo (p. es., il volume, il peso, il prezzo di esso). In generale si può assumere come misura di ${\displaystyle \tau }$ ogni funzione additiva e positiva di ${\displaystyle \tau _{0}}$