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Se ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ sono le misure di uno stesso angolo rispettivamente in radianti e in gradi, si avrà:

L'angolo di un radiante vale in gradi ${\displaystyle 180:\pi =57,2957795}$, cioè vale minuti secondi 206264,8.....; perciò, se ${\displaystyle \varphi }$ è la misura in radianti di un angolo e ${\displaystyle \alpha ''}$ la sua misura in minuti secondi sarà con grande approssimazione ${\displaystyle \varphi$ :\alpha ''=1:206265''} .

${\displaystyle \delta }$) Se ${\displaystyle x}$ è la misura di un angolo acuto in radianti (quindi ${\displaystyle \textstyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}$) allora si ha:

Fig. 2. Sia ${\displaystyle AOB}$ l'angolo ${\displaystyle x}$ e sia ${\displaystyle OC}$ la retta simmetrica di ${\displaystyle OB}$ rispetto ad ${\displaystyle OA}$; sarà ${\displaystyle COB=2x}$. Sia ${\displaystyle BAC}$ il cerchio di centro ${\displaystyle O}$ e di raggio 1. Sarà (figura 2) arco ${\displaystyle AB=}$ arco ${\displaystyle CA=x}$;

arco ${\displaystyle CAB=2x}$; segmento ${\displaystyle AH={\text{tg}}\;x}$; segmento ${\displaystyle MB=CM=\operatorname {sen} {x}}$; segmento ${\displaystyle CB=2\operatorname {sen} {x}}$.

Poichè: segmento ${\displaystyle CB<}$ arco ${\displaystyle CAB}$, sarà ${\displaystyle 2\operatorname {sen} {x}<2x,}$ ossia ${\displaystyle \operatorname {sen} {x}<x}$.

D'altra parte: area triangolo ${\displaystyle OHK=OA.AH={\text{tg}}\;x;}$ area settore ${\displaystyle \textstyle OC\;AB={\frac {OA}{2}}}$. Arco ${\displaystyle CAB=x}$.

Poichè: area triangolo ${\displaystyle OHK>}$ area settore ${\displaystyle OCAB}$, sarà ${\displaystyle {\text{tg}}\;x>x}$. Le disuguaglianze così ottenute dimostrano completamente il nostro teorema.

Se ${\displaystyle y}$ è l’ampiezza in gradi di un angolo, la cui misura in radianti è ${\displaystyle x}$, sarà ${\displaystyle \textstyle x={\frac {\pi }{180}}y}$; perciò ${\displaystyle \textstyle \operatorname {sen} {y}<{\frac {\pi }{180}}<{\text{tg}}\;y}$.

${\displaystyle \alpha }$) Sia ${\displaystyle r}$ una retta orientata, su cui cioè si è scelto come positivo, per esempio, il verso da sinistra a destra.

Fissiamo sopra la retta un punto ${\displaystyle O}$, che chiameremo l'origine; la posizione di un punto qualsiasi ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle r}$ è determinata quando si conosca la misura del segmento ${\displaystyle OA}$ in valore assoluto e in segno