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Cosi, come abbiamo già osservato a pag. 335, se ${\displaystyle I}$ è una lamina o un corpo pesante, ${\displaystyle \tau }$ è l'area o il volume di un suo pezzo, ${\displaystyle \rho }$ ne è la densità in un punto, allora l'ascissa del suo centro di gravità vale ${\displaystyle {\frac {\int _{I}x\rho d\tau }{\int _{I}\rho d\tau }}}$.

Se ${\displaystyle \mathrm {F(x,y)} }$ è una funzione continua in una regione ${\displaystyle \mathrm {\sigma } }$ del piano ${\displaystyle \mathrm {xy} }$, come si calcola lo ${\displaystyle \mathrm {\int _{\sigma }F(x,y)d\sigma } }$ ? o meglio: Come se ne può ridurre il calcolo a quello di integrali deifniti? Per vederlo cominceremo ad usare metodi poco rigorosi salvo a verificare poi i risultati ottenuti nel modo più preciso.

Se noi dividiamo l'area ${\displaystyle \sigma }$ in pezzetti con rette parallele agli assi delle ${\displaystyle x}$ e delle ${\displaystyle y}$, l'area ${\displaystyle \sigma }$ verrà scomposta in rettangoli, e in altri pezzetti, il cui contorno contiene dei pezzi del contrno ${\displaystyle \sigma }$. Se noi supponiamo (cfr. § 99, pag. 328) che questi ultimi pezzetti siano trascurabili (che diano cioè un contribuo infinitesimol), basterà che consideriamo i rettangolini tutti interni a ${\displaystyle \sigma }$, la cui area è ${\displaystyle \Delta x\Delta y}$, se ${\displaystyle \Delta x}$ e ${\displaystyle \Delta y}$ sono rispettivamente le distanze di due delle rette da noi tirate parallelamente all'asse delle ${\displaystyle x}$, o all'asse delle ${\displaystyle y}$. Considerando dapprima i rettangoli posti p. es. in una stessa striscia parallela all'asse delle ${\displaystyle x}$, e poi le varie strisce, la somma ${\displaystyle \Sigma F_{i}\delta _{i}}$ dell'ultimo paragrafo diventa:

dove la ${\displaystyle \Sigma F\Delta x}$ è relativa ai rettangoli di una stessa striscia, mentre l'altro simbolo ${\displaystyle \Sigma }$ di somma si riferisce alle varie striscie. Possiamo scegliere gli stremi di una retta^[1] ${\displaystyle y={\text{cost.}}}$ nel contorno di ${\displaystyle \gamma }$, e poi i valori ${\displaystyle F}$^[2] intermedi in guida tale che

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1. ↑ Suppongo gli estremi di una retta ${\displaystyle y={\text{cost.}}}$ sul controrno di ${\displaystyle \gamma }$: ciò che è un errore perchè avendo trascurato i pezzetti posti sul contorno di ${\displaystyle \gamma }$, potrebbe darsi che gli estremi da considerare fossero interni a ${\displaystyle \gamma }$. Un'osservazione analoga si può ripetere più sotto. Noi ammettiamo provvisoriamente che l'errore commesso tenda a zero e sia quinti trascurabile.
2. ↑ Suppongo che ${\displaystyle F}$ sil il valore assunto da ${\displaystyle F(x,y)}$ su uno dei lati del nostro rettangolo paralleli all'asse delle ${\displaystyle x}$.