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${\displaystyle \int F(x,y)dx}$ significherebbe la somma degli integrali (eseguiti considerando ${\displaystyle y}$ come costante) estesi ai due intervalli ${\displaystyle A'C',D'B'}$ che la retta ${\displaystyle A'B'}$ possiede interni all'area ${\displaystyle \sigma }$.

Il valore di ${\displaystyle \int F(x,y)dx}$ dipende perciò dal valore dato alla ${\displaystyle y}$; e cioè una funzione ${\displaystyle \varphi (y)}$ della ${\displaystyle y}$. E la nostra formola ci dice che noi dobbiamo integrare questa funzione rapporto ad ${\displaystyle y}$. Tra quali limiti si deve fare questa seconda integrazione? Poichè si deve tener conto di tutto il campo ${\displaystyle \sigma }$, essa dovrà quindi essere eseguita nell'intervallo (${\displaystyle n,N}$), se ${\displaystyle n}$ ed ${\displaystyle N}$ sono i valori minimo e massimo della ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle \sigma }$.

Se noi per fissare le idee supponiamo che il contorno di ${\displaystyle \sigma }$ sia incontrato in due punti al più da una parallela a uno degli assi coordinati, le ascisse dei punti ${\displaystyle A,B}$ dei punti ove una retta ${\displaystyle y={\text{cost.}}}$ incontra il contorno di ${\displaystyle \sigma }$ saranno due funzioni ${\displaystyle \alpha (y)}$ e ${\displaystyle \beta (y)}$ della ${\displaystyle y}$. E le ordinate dei punti ${\displaystyle C,D}$, ove una retta ${\displaystyle x={\text{cost.}}}$ incontra il contorno di ${\displaystyle \sigma }$, saranno due funzioni ${\displaystyle \gamma (x)}$ e ${\displaystyle \delta (x)}$ della ${\displaystyle x}$.

Se dunque diciamo ${\displaystyle n,N}$ ed ${\displaystyle l,L}$ i valori minimi e massimi rispettivamente della ${\displaystyle y}$ e della ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle \sigma }$, troveremo:

(1)               ${\displaystyle \int _{\sigma }Fd\sigma =\int _{n}^{N}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}F(x,y)dx}$^[1].

E, scambiando i due assi, coordinati, troveremo per simmetria:

(2)               ${\displaystyle \int _{\sigma }Fd\sigma =\int _{l}^{L}dx\int _{y(x)}^{\delta (x)}F(x,y)dy}$.

Come si vede, confrontando queste formole è lecito cambiare l'ordine delle integrazioni, purchè si cambino convenientemente i limiti dei corrispondenti integrali. È evidente che i limiti non dovrebbero essere cambiati nel caso che ${\displaystyle \sigma }$ fosse un rettangolo coi lati paralleli agli assi coordinati^[2], come il lettore può facilmente verificare facendo la figura.

1. ↑ Si ricordi (§ 88) che se ${\displaystyle F(x,y),\alpha (y),\beta (y)}$ sono funzioni continue, anche ${\displaystyle \int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}F(x,y)dx}$ è funzione continua della ${\displaystyle y}$ e si può quindi integrare rispetto alla ${\displaystyle y}$.
2. ↑ Si applichi questo risultato all'ultima formola del § 93, pag. 307. In questa formola i limiti d'integrazione sono uguali nei due membri, perchè siamo nel caso particolarissimo di un integrale doppio esteso a quel rettangolo coi lati paralleli agli assi coordinati, di cui l'origine e il punto (${\displaystyle x,y}$) sono vertici opposti.