[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:357|3|0]]rema, che avevamo già dimostrato in casi particolati, usando però del linguaggio del calcolo differenziale (o calcolo delle derivate) (pag. 167):

Teor. 1°. Il volume del nostro cilindroide si ottiene integrando rapporto alla ${\displaystyle \mathrm {y} }$ l'area della sezione fattavi con un piano ${\displaystyle \mathrm {y=cost.} }$.

E questo teorema si può estendere a solidi qualunque (decomponibili in cilindroidi).

Teor.. 2° Scelta una retta come asse delle ${\displaystyle \mathrm {y} }$, il volume di un tale solido è uguale all'integrale rispetto alla ${\displaystyle \mathrm {y} }$ dell'area della sezione fatta con un piano ${\displaystyle \mathrm {y=cost.} }$.

Il precedente teor. 1° si può considerare come l'enunciato geometrico del teorema contenuto nella (1) del § 103, anche quando ${\displaystyle F(x,y)}$ non sia sempre positivo, purchè si considerino come negativi i volumi delle porzioni di un solido poste al disotto del piano ${\displaystyle xy}$ e le aree delle corrispondenti sezioni con un piano ${\displaystyle y={\text{cost.}}}$.

Per dimostrare^[1], p. es., che

basta provare che il secondo membro è una funzione additiva di ${\displaystyle \sigma }$ la cui derivata vale ${\displaystyle F</matHh>.Notiamochel'integrale<math>\int F(x,y)dx}$ del secondo membro è esteso all'intervallo ${\displaystyle \lambda }$, o alla somma ${\displaystyle \lambda }$ degli intervalli che su una retta ${\displaystyle r}$ (luogo dei putni aventi l'ascissa ${\displaystyle x={\text{cost.}}}$ sono determinati da ${\displaystyle \sigma }$. E, se ${\displaystyle \sigma }$ è somma di due campi parziali ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$, e indichiamo con ${\displaystyle \lambda _{1}}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}}$ gli intervalli determinati sulla ${\displaystyle r}$ da ${\displaystyle \sigma _{1}}$ e da ${\displaystyle \sigma _{3}}$, sarà ${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}+\lambda _{2}}$ e quindi:

(1)   ${\displaystyle \int _{(\lambda )}F(x,y)dy=\int _{(\lambda _{1})}F(x,y)dy+\int _{(\lambda _{2})}F(x,y)dy}$.

È da avvertire che può darsi benissimo che l'una o l'altra delle ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ si annulli, cioè che ${\displaystyle r}$ non abbia intervalli interni

1. ↑ Nel corso di questa dimostrazione faremo, come si vedrà, alcune ipotesi sul campo ${\displaystyle \tau }$, e sul suo contorno, che sono del resto pochissimo restrittive in pratica. Appunto perciò alcune di essere sono enunciare soltanto a piè di pagina. Questo teorema vale del resto in casi estremamente più generali di quelli qui considerati.