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a ${\displaystyle \sigma _{1}}$ od a ${\displaystyle \sigma _{2}}$. In tal caso l'integrale corrispondente del secondo membro di (1) si deve naturalmente considerare come nullo.

Se ne deduce facilmente che:

ossia che il valore di

(2)                                        ${\displaystyle \int dx\int F(x,y)dy}$

corrispondente ad un'area ${\displaystyle \sigma }$ somma delle aree parziali ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ è uguale alla somma di valori (2) corrispondenti alle aree ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$. Quindi (2) è funzione additiva di ${\displaystyle \sigma }$.

Si noti ora che, se ${\displaystyle M}$ ed ${\displaystyle m}$ sono il massimo ed il minimo della ${\displaystyle F(x,y)}$ nel campo ${\displaystyle \sigma }$,, il valore di (2) per il campo ${\displaystyle \sigma }$ è compreso tra

Dimostriamo ora che:

Il valore di

                                                  ${\displaystyle \int dx\int dy}$                    (3)

esteso a un campo ${\displaystyle \mathrm {\sigma } }$ vale l'area di ${\displaystyle \mathrm {\sigma } }$.

Cominciamo col supporre che ${\displaystyle \sigma }$ sia incontrato in due punti al più di ogni parallela all'asse delle ${\displaystyle y}$. Lo ${\displaystyle \int dy}$ deve essere esteso all'intervallo ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$ determinato da ${\displaystyle \sigma }$ su una retta ${\displaystyle x={\text{cost.}}}$, cioè (se ${\displaystyle y_{1}<y_{2}}$) deve essere uguale a ${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$^[1]. Cosicchè

(4)    ${\displaystyle \int dx\int dy=\int _{l}^{L}(y_{2}-y_{1})dx=\int _{l}^{L}y_{2}dx-\int _{l}^{L}y_{1}dx}$.

1. ↑ Si ammette che ${\displaystyle y_{1}}$ ed ${\displaystyle y_{2}}$ siano funzioni continue della ${\displaystyle x}$.