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capitolo xvii — § 107

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II. Con le notazioni precedenti, è ben evidente che non si possono viceversa calcolare le $x'_{t},y'_{t},x''_{t},y''_{t},.....$ quando soltanto si conoscano le $y'_{x},y''_{x},.....$ , perchè tale questione è indeterminata. Il problema resta determinato se aggiungiamo qualche condizione per la variabile $t$ , se, p. es., supponiamo $t$ scelto in guisa che ${x'_{t}}^{2}+{y'_{t}}^{2}=1$ ^[1].

Sarà:

$x'_{t}={\frac {dx}{dt}}$ , $y'_{t}={\frac {dy}{dt}}$ , donde (per la ${x'_{t}}^{2}+{y'_{t}}^{3}=1$ , ossia ${\sqrt {dx^{2}+dx^{2}}}=dt$ ) si trae:

$x'_{t}={\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+{y'_{x}}^{2}}}}$ ,

$y'_{t}={\frac {dy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}={\frac {\frac {dx}{dy}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}={\frac {y'_{x}}{\sqrt {1+{y'_{x}}^{2}}}}$ .

È:

$x''_{t}={\frac {dx'_{t}}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dx'_{t}}{dx}}=x'_{t}{\frac {dx'_{t}}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1+{y'_{x}}^{2}}}}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{\sqrt {1+{y'_{x}}^{2}}}}\right)=$

$={\frac {1}{\sqrt {1+{y'_{x}}^{2}}}}[-(1+{y'_{x}}^{2})^{\frac {3}{2}}y'_{x}y''_{x}]=-{\frac {y'_{x}y''_{x}}{(1+{y'_{x}}^{2})^{2}}}$ .

$y''_{t}={\frac {dy'_{t}}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dy'_{t}}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {y'_{x}}{\sqrt {1+{y'_{x}}^{2}}}}\right)=$

${\frac {y''_{x}}{1+{y'_{x}}^{2}}}-{\frac {{y'_{x}}^{2}y''_{x}}{(1+{y'_{x}}^{2})^{2}}}={\frac {y''_{x}}{(1+{y'_{x}}^{2})^{2}}}$ , ecc.

III. Sia $z$ una funzione di $x,y$ ; le quali siano a loro volta funzioni di due variabili $u,v$ ; cosicchè $z$ si possa considerare come funzione di $u,v$ . Conoscendo le

$z'_{x},z'_{y}z'_{xx},z''_{xy},.....,x'_{u},x''_{uu},x'_{v},.....$ ,

↑ Ciò equivale, come vedremo, a supporre che ( $x,y$ ) sia punto generico di una curva, l'arco della quale a partire da un punto fisso, abbia lunghezza $t$ .

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[1] Ciò equivale, come vedremo, a supporre che ( $x,y$ ) sia punto generico di una curva, l'arco della quale a partire da un punto fisso, abbia lunghezza $t$ .

[1]