[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:367|3|0]]

Con metodo affatto analogo a quello dell'ora citato § 75, si dimostra (cfr. il § 101, ${\displaystyle \gamma }$, pag. 334):

Se ${\displaystyle I,\mathrm {H} }$ sono due campi in corrispondenza biunivoca continua, in modo che le funzioni additive dei pezzi ${\displaystyle \tau }$ di ${\displaystyle I}$ si possano considerare come funzioni additive dei pezzi ${\displaystyle \mathrm {k} }$ di ${\displaystyle \mathrm {H} }$, se ${\displaystyle \mathrm {F} }$ è una funzione continua dei punti ${\displaystyle I}$, e quindi anche dei punti di ${\displaystyle \mathrm {H} }$, allora:

                                        ${\displaystyle \int _{I}f\,d,\tau =\int _{H}\left(F\,{\frac {d\,\tau }{dk}}\right)dk}$.          (1)

Ma l'importanza di questo teorema si potrà vedere soltanto dalle applicazioni.

Sia ${\displaystyle I}$ un campo finito del piano <mah>xy</math>; per fissar le idee, l'origine^[1] sia esterna al contorno od ai contorni di ${\displaystyle I}$; si possono determinare allora le coordinate polari ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle \theta }$ di un punto generico ${\displaystyle I}$, così che ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle \theta }$ siano funzioni continue delle ${\displaystyle x,y}$ e viceversa. Poniamo ${\displaystyle \rho =X,\theta =Y}$, considerando le ${\displaystyle X,Y}$ come coordinate cartesiane di un punto posto in un altro piano ${\displaystyle P}$. Ad ogni punto di ${\displaystyle I}$ corrisponderà allora uno e un solo punto di questo piano ${\displaystyle P}$. E i punti di ${\displaystyle P}$, che corrispondono a punti di ${\displaystyle I}$, riempiranno tutta una regione ${\displaystyle H}$ di ${\displaystyle P}$

(Notiamo che ${\displaystyle x=\rho {\text{cos}}\,\theta =X{\text{cos}}Y,y=\rho {\text{sen}}\theta =X{\text{sen}}Y}$)

Una funzione ${\displaystyle F(x,y)}$ continua delle ${\displaystyle x,y}$ diverrà una funzione continua ${\displaystyle F(X{\text{cos}}\,Y,X{\text{sen}}\,Y}$) delle ${\displaystyle X,Y}$

Se ${\displaystyle \tau }$ e ${\displaystyle k}$ sono due pezzi corrispondenti di ${\displaystyle I}$ e di ${\displaystyle H}$, la derivata ${\displaystyle {\frac {d\,\tau }{dk}}}$ si trova, come ora vedremo, uguale ad ${\displaystyle X=\rho }$. Cosicchè la (1) diventa:

Per i risultati dei §§ 103-105 questa formola si può scrivere:

o anche

(2)   ${\displaystyle \int \,dx\,\int \,F(x,y)dy=\int d\,\rho \,\int \,F(\rho {\text{cos}}\,\theta ,\rho {\text{sen}}\,\theta )\,\rho \,d\,\theta =}$

1. ↑ L'origine è un punto eccezionale per il sistema delle coordinate polari.