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L'angolo ${\displaystyle \varphi }$ è la longitudine (contata a partire dal piano ${\displaystyle xz}$ come meridiano iniziale). Si trova:

${\displaystyle =\int \int \int F(\rho \,{\text{sen}}\,\theta {\text{cos}}\,\varphi ,\rho {\text{sen}}\,\theta \,{\text{sen}}\,\varphi ,\rho {\text{cos}}\theta )\rho ^{2}\,{\text{sen}}\,\theta \,d\theta \,d\rho \,d\varphi }$, come si prova osservando che il volume racchiuso tra due sfere di raggio ${\displaystyle \rho }$ e \rho+d\rho</math>, tra due coni di colatitudine ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \theta +d\theta }$, e tra due semipiani di longitudine ${\displaystyle \varphi }$ e ${\displaystyle \varphi +d\varphi }$ vale ${\displaystyle \rho ^{2}\,{\text{sen}}\,\theta \,d\theta \,d\rho \,d\varphi }$ a meno di infinitesimi d'ordine superiore.

I risultati di questo paragrafo saranno dimostrati più avanti in modo semplice benchè diretto. Noi qui faremo invece delle ipotesi analoghe a quelle fatte ai §§ 103 e seg. che del resto sarebbe facile giustificare in modo diretto.

I risultati a cui giungeremo, si debbono riguardare come l'estensione del metodo di integrazione in coordinate polari a coordinate qualsiasi. Useremo, p. es., i metodi intuitivi del § 108.

Sia ${\displaystyle I}$ un'area del piano ${\displaystyle xy}$; e siano <math<X, Y</math> due variabili: ${\displaystyle X=X(x,y),Y=Y(x,y)}$ funzioni delle ${\displaystyle x,y}$ in ${\displaystyle I}$.

Viceversa le ${\displaystyle x,y}$ si possano considerare come funzioni ${\displaystyle x(X,Y)}$ ed ${\displaystyle y(X,Y)}$ delle ${\displaystyle X,Y}$, così che un punto di ${\displaystyle I}$ si possa determinare tanto dando i corrispondendi valori delle ${\displaystyle x,y}$, quanto quelli delle X, Y</math>.

Dividiamo ${\displaystyle I}$ con linee ${\displaystyle X={\text{cost.}},Y={\text{cost.}}}$, indicando con ${\displaystyle dX,dY}$ gli incrementi che subisce la ${\displaystyle X}$ o la ${\displaystyle Y}$ per passare da una tale linea alla successiva; sostituiamo poi a quelli dei quadrangoli curvilinei tutti interni a ${\displaystyle I}$ limitati da due linee consecutive ${\displaystyle X={\text{cost.}}}$, e ${\displaystyle Y={\text{cost,}}}$ il quadrangolo rettilineo ${\displaystyle Q}$ che ha gli stessi vertici. L'area ${\displaystyle I}$ sarà così divisa in

${\displaystyle \alpha }$) quadrangoli ${\displaystyle Q}$ rettilinei tutti interni a ${\displaystyle I}$,

ed in

${\displaystyle \beta }$) poligoni ${\displaystyle P}$ curvilinei parte del contorno dei quali appartiene al contorno di ${\displaystyle I}$.

Noi ammetteremo:

1° Il contributo portato alle nostre somme da questi ultimi poligoni ${\displaystyle P}$ tende a zero, quando i ${\displaystyle dX,dY}$ tendono contemporaneamente a zero.

2° Per calcolare i limiti che incontreremo (quando i ${\displaystyle dX,dY}$ tendono contemporaneamente a zero) si possono far tendere a zero prima i ${\displaystyle dX}$, poi i ${\displaystyle dY}$ o viceversa.

Uno dei quadrangoli rettilinei ${\displaystyle Q}$ ha i vertici posti sulle intersezioni di una linea ${\displaystyle X={\text{cost.}}}$ e ${\displaystyle X+dX={\text{cost.}}}$ con due linee ${\displaystyle Y={\text{cost.}}}$ e ${\displaystyle Y+dY={\text{cost.}}}$. I suoi vertici ${\displaystyle A,B,C,D}$ saranno perciò i punti

               ${\displaystyle A=[x(X,Y),y(X,Y)]}$;}}

               ${\displaystyle B=[x(X+dX,Y),y(X+dX,Y)]}$;

               ${\displaystyle C=[x(X,Y+dY),y(X,Y+dY)]}$;

               ${\displaystyle D=[x(X+dX,Y+dY),y(X+dX,Y+dY)]}$.

E la sua area sarà la somma delle aree dei traingoli ${\displaystyle ABC,BCD}$^[1]. L'area del 1° vale (per nota formola di geometria analitica) il valore assoluto di

1. ↑ Suppongo per semplicità che ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle D}$ sieno da bando opposte della retta ${\displaystyle BC}$. Come abbiamo già detto, una dimostrazione completa sarà data più tardi.