[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:375|3|0]]lo studio generale delle equazioni differenziali costituisce da solo uno dei rami più estesi delle matematiche, e riceve continue applicazioni alle scienze fisiche, e in genere a tutte le sceinze che hanno per oggetto enti suscettibili di misura.

${\displaystyle \alpha }$) Sia ${\displaystyle f}$ una funzione delle due variabili ${\displaystyle x,y}$; trovare tutte le funzioni ${\displaystyle y}$ della ${\displaystyle x}$ che soddisfano a un'equazione del tipo

                                                  ${\displaystyle f(x,y)={\text{cost.}}}$                              (1)

equivale a trovare tutte le funzioni ${\displaystyle y}$ definite implicitamente dalla (1).

È chiaro che per tutte e solo le funzioni definite implicitamente dalla (1) si ha che, sostituendo nel primo membro della (1) in luogo di ${\displaystyle y}$ il suo valore e derivando la funzione di ${\displaystyle x}$ che ne risulta, si ottiene lo zero. In altre parole la^[1]

                                        ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0}$                    (2)

vale per tutte e sole le funzioni ${\displaystyle \mathrm {y} }$ definite implicitamente dalla (1)

La (2) è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine: tutte le funzioni ${\displaystyle y}$ che la risolvono sono tutte e sole quelle che soddisfano alla 81).

Si abbia ora l'equazione differenziale del tipo:

                                        ${\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0}$,                    (3)

La quale, moltiplicata per ${\displaystyle dx}$, si può scrivere:

                                        ${\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}$.                    (4)

Se il primo membro di (4) è un differenziale esatto, se esiste cioè una ${\displaystyle f(x,y)}$ tale che:

1. ↑ Si suppongono qui, e nei seguenti §§, finite e continue tutte le funzioni, e loro derivate, che si presentano nel calcolo