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per le considerazioni precedenti tutte e sole le funzioni ${\displaystyle y}$ della ${\displaystyle x}$ che risolvono la (3) o la (4) sono le funzioni rappresentate implicitamente dall'equazione

dove ${\displaystyle C}$ è una costante affatto arbitraria^[1].

Si voglia, ad esempio, risolvere l'equazione differenziale ordinaria del primo ordine

                              ${\displaystyle 2y+x^{3}+(2x+y^{2})y'=0}$;                    (5)

si vogliano cioè trovare tutte e sole le funzioni ${\displaystyle y}$ della ${\displaystyle x}$, che la soddisfano. Poichè ${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}}$, la (5) si può scrivere moltiplicata per ${\displaystyle dx}$:

Il primo membro è un differenziale esatto, poichè:

Le funzioni ${\displaystyle f}$, per cui:

si ottengono integrando ${\displaystyle 2y+x^{3}}$ rapporto a ${\displaystyle x}$ e aggiungendo una funzione di ${\displaystyle y}$ tale che la funzione che ne risulta abbia per derivata rapporto a ${\displaystyle y}$ la ${\displaystyle 2x+y^{2}}$.

Sarà dunque:

essendo ${\displaystyle Y}$ tale che:

1. ↑ Più precisamente la ${\displaystyle c}$ deve soddisfare a questa unica condizione, che la ${\displaystyle f(x,y)=C}$ sia risolubile rispetto alla ${\displaystyle y}$. Così, p. es., se per ${\displaystyle x=a,y=b}$, le ${\displaystyle f_{x},f_{y}}$ sono finite e continue, ed ${\displaystyle f'_{x}\not =0}$, si può porre ${\displaystyle C=f(a,b)}$. (Cfr. § 84, ${\displaystyle \beta }$).