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Le funzioni ${\displaystyle y}$ rappresentate dalla formola precedente insieme con la soluzione ${\displaystyle y=0}$ sono tutte e sole le funzioni che risolvono l'equazione differenziale che ci eravamo proposti di studiare.

In generale si può dire che, se si ha un'equazione differenziale del tipo:

                                        ${\displaystyle XYdx+\xi \nu dy=0}$,                    (7)

dove ${\displaystyle X,\xi ,Y,\nu }$ sono funzioni le prime di ${\displaystyle x}$ e le seconde di ${\displaystyle y}$, si può facilmente rendere il primo membro della (7) un differenziale esatto a variabili separate, dividendo ambo i membri della (7) per ${\displaystyle \xi Y}$.

Consideriamo la pila di un ponte; ne sia ${\displaystyle S_{0}}$ la sezione superiore; sia ${\displaystyle x}$ la distanza di un punto della pila da ${\displaystyle S_{0}}$, e sia ${\displaystyle S(x)}$ la sezione della pila posta alla distanza ${\displaystyle x}$ da ${\displaystyle S_{0}}$. Si richiede talvolta nella tecnica che l'incremento ${\displaystyle S(x+h)-S8x)}$ della sezione sia proporzionale al volume

di quella parte di pila, che è racchiusa tra le sezioni poste alle distanze ${\displaystyle x,x+h}$ da ${\displaystyle S_{0}}$^[1]. Sarà perciò:

dove ${\displaystyle k}$ è una costante dipendente dal tipo di costruzione adottato.

Passando al limite per ${\displaystyle h=0}$ si trova:

cioè:

donde:

Poichè ${\displaystyle S=S_{0}}$ per ${\displaystyle x=0}$, sarà:

1. ↑ Èciò, perchè generalmente l'area di una tale sezione si fa proporzionale al carico complessivo (del ponte e della stessa pila), che gravita su tale sezione. Sulla ${\displaystyle S_{0}}$ gravita, p. es., soltanto parte del ponte.